| 变量 | 定义 | 取值 |
|---|---|---|
| Lgprice | 对数化价格 | 定量变量，对数化价格 |
| Wd | 工作日 | 定性变量，Mon表示周一;Tue表示周二;Wed表示周三;Turs表示周四;Fri表示周五 |
| Wd1 | 周一 | 虚拟变量, 1表示周一,0表示其他 |
| Wd2 | 周二 | 虚拟变量, 1表示周二,0表示其他 |
| Wd3 | 周三 | 虚拟变量, 1表示周三,0表示其他 |
| Wd4 | 周四 | 虚拟变量, 1表示周四,0表示其他 |
| Wd5 | 周五 | 虚拟变量, 1表示周五,0表示其他 |
| Wave2 | 前两天平均最大浪高 | 定量变量，前两天的平均最大浪高 |
| Wave3 | 后三天平均最大浪高 | 定量变量，后三天的平均最大浪高 |
| Time | 时间 | 定量变量，将全部天数表达为日期序列 |
1 案例分析题
渔业市场案例：一项实证研究某渔业港口城市在工作日中（也即不包括周六和周日）的海鱼产品市场价格问题及其相关影响因素，相关变量的具体定义见 表 1 ：
该实证研究共收集了样本数T=97天的数据集，部分数据集见 图 1 ：
A同学构建了 式 1 所示的虚拟变量回归模型：
\[ \begin{aligned} \begin{split} Lgprice_t=&+\alpha_{1}+\alpha_{2}Wd1_t+\alpha_{3}Wd2_t+\alpha_{4}Wd3_t+\alpha_{5}Wd4_t\\&+\alpha_{6}Time_t+v_t \end{split} \quad \text{(受约束模型A)}\quad \end{aligned} \tag{1}\]
B同学构建了 式 2 所示的虚拟变量回归模型：
\[ \begin{aligned} \begin{split} Lgprice_t=&+\beta_{1}+\beta_{2}Wd1_t+\beta_{3}Wd2_t+\beta_{4}Wd3_t+\beta_{5}Wd4_t\\&+\beta_{6}Time_t+\beta_{7}Wave2_t+\beta_{8}Wave3_t+u_t \end{split} \quad \text{(无约束模型B)}\quad \end{aligned} \tag{2}\]
采用EViews软件进行最小二乘法回归，A模型和B模型的结果分别见 图 2 和 图 3 ：
1.（小计10分，共4小题）根据A模型（见 式 1）及其最小二乘法EViews结果（见 图 2），请你依次回答下列问题：
（1）（2分）请你计算出A模型中变量\(Wd1\)的系数估计标准误\(S_{\hat{\alpha}_2}\)，也即图中空白处(a)____的数值。（要求：写出主要计算过程；结果保留6位小数。）
（2）（2分）请你计算出模型A中时间变量\(Time\)的系数t统计量值\(t^{\ast}_{\hat{\alpha}_6}\)，也即图中空白处(b)____的数值。（要求：写出主要计算过程；结果保留4位小数。）
（3）（3分）根据EViews结果（见 图 2），并利用上一题（2）的计算结果，请你对模型A中时间变量\(Time\)的的参数\(\alpha_6\)进行显著性t检验。（提示：给定显著性水平\(\alpha =0.05\)，t查表值\(t_{1-\alpha/2}(n-6) = t_{0.975}(91) = 1.99\)；\(t_{1-\alpha/2}(n-7) = t_{0.975}(90) = 1.99\)；\(t_{1-\alpha}(n-7) = t_{0.95}(91) = 1.66\)。要求：简要写出t检验的主要依据和结论即可。）
（4）（3分）请你计算出A模型的回归误差标准差\(\hat{\sigma}\)，也即图中空白处(c)____的数值。（要求：写出主要计算过程；结果保留6位小数。）
2.（小计10分，共3小题）根据A模型（见 式 1 ）及其最小二乘法EViews结果（见 图 2），请你依次回答下列问题。
（1）（2分）虚拟变量回归模型（见 式 1）中，基础组是什么？
（2）（3分）给定某一时期（\(Time\)）为100，且当天为周三，请你计算出该天鱼市对数化价格的预测值是多少？（要求：写出主要计算步骤和过程；计算结果保留4位小数。）
（3）（5分）假设将基础组设定为周一，且上述A模型重新设置为\(Lgprice_t=\gamma_{1}+\gamma_{2}Wd2_t+\gamma_{3}Wd3_t+\gamma_{4}Wd4_t+\gamma_{5}Wd5_t+\gamma_{6}Time_t+v_t\)。请你根据受约束模型A的最小二乘回归结果（见 图 2）分别计算得出\(\hat{\gamma}_{1},\hat{\gamma}_{2},\hat{\gamma}_{3},\hat{\gamma}_{4},\hat{\gamma}_{5}\)？（要求：写出主要计算步骤和过程；计算结果保留6位小数。）
3.（小计10分，共3小题）同学C比较感兴趣的一个猜想是：海面越是风大浪急，鱼价就越高，所以两个海浪变量（也即变量\(Wave2,Wave3\)）会联合正向影响鱼价。因此，同学C综合研究了受约束模型A（见 式 1）和无约束模型B（见 式 2），请结合EViews回归报告（见 图 2 和 图 3），分别回答如下问题。
（1）（2分）对于C同学的猜想（也即两个海浪变量\(Wave2,Wave3\)）会联合正向影响鱼价），请你写出与该猜想等价的线性约束条件。（要求：请用模型B中的参数进行表达。）
（2）（2分）为了对C同学的猜想进行假设检验，请你提出相应的原假设 \(H_0\) 和备择假设 \(H_1\) 。
（3）（6分）请你用线性约束检验方法，对同学C的猜想进行检验计算并得出检验结论。给定显著性水平\(\alpha = 0.05\)下，F查表值有\(F_{1-\alpha}(q, n-k_u)=F_{0.95}(2,89) = 3.10\)；\(F_{1-\alpha}(k_u-1, n-k_u)=F_{0.95}(7,89) = 2.11\)。（要求：写出主要计算步骤和过程；计算结果保留2位小数。）
4.（小计10分，共3小题）同学D担心无约束模型B（见 式 2 ）可能存在序列自相关性问题，他将进行相关诊断，并得到如下某种方法的模型矫正结果（见 图 4）。
（1）（3分）根据无约束模型B的EViews回归结果（见 图 3），请你采用德斌-沃森检验法（Durbin-Watson）检验是否存在一阶自相关AR(1)，也即\(u_t = \rho u_{t-1} + \epsilon_t\)。已知在 \(k = 7, n = 97, \alpha = 1\%\)下的临界值为 \(d_L =1.360, d_U =1.685\)。（要求：写出主要结论，并给出判定理由。）
（2）（3分）如果无约束模型B经诊断发现确实存在一阶自相关AR(1)，请你根据德斌-沃森统计量（DW）计算得到自协方差系数估计量\(\hat{\rho}\)。（要求：写出主要计算步骤和过程；计算结果保留4位小数。）
（3）（4分）请根据前述模型矫正结果（见 图 4），请你指出这是哪一种矫正方法？与矫正前相比（对比 图 3）你发现有哪些变化？（要求：请简要给出你的依据。）
2 参考答案
注记参考答案
1.（小计10分，共4小题）
（1）（2分）
答： 已知回归系数\(\hat{\alpha}_2=-0.010070\)，对应的t统计量\(t_{\hat{\alpha}_2}^{\ast} = -0.077848\)，则可以计算得到对应的系数标准误差：
\[ \begin{aligned} S^2_{\hat{\alpha}} &= \frac{\hat{\alpha}_2}{t_{\hat{\alpha}_2}^{\ast}} = \frac{-0.010070}{-0.077848} = 0.129355 \end{aligned} \]
（2）（2分）
答： 已知回归系数\(\hat{\alpha}_6=-0.003991\)，及其标准误差\(S_{\hat{\alpha}_6}=0.001444\)，因此有：
\[ t^{\ast}_{\hat{\alpha}_6} =\frac{\hat{\alpha}_6}{S_{\hat{\alpha}_6}} = \frac{-0.003991}{0.001444} = -2.7639 \]
（3）（3分）
答： 根据题意，已知给定显著性水平\(\alpha =0.05\)，t查表值\(t_{1-\alpha/2}(n-6) = t_{0.975}(91) = 1.99\)。根据（2）题计算结果，易知 \(t^{\ast}_{\hat{\alpha}_6}= -2.7639\)的绝对值大于t查表值，因此对参数\(\alpha_6\)的显著性t检验（\(H_0:\alpha_6 =0\)）显著。
（4）（3分）
答：根据题意，已知残差平方和\(RSS=14.36984\)，\(k_c=6\)，\(n= 97\)，因此容易计算得到A模型的回归误差标准差：
\[\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{RSS}{n-k_c}} = \sqrt{\frac{14.36984}{91}} = 0.397379\]
2.（小计10分，共3小题）
（1）（2分）
答： 根据回归模型设置，可以发现周五为基础组（或参照组）。
（2）（3分）
答： 根据给定的条件，可以计算得到：
\[ \begin{aligned} \begin{split} &(\widehat{Lgprice}|Wd1=0; Wd2=0; Wd3=1; Wd4=0; Time=100)\\ =&+\hat{\beta}_{1}(1) +\hat{\beta}_{2}(0) +\hat{\beta}_{3}(0) +\hat{\beta}_{4}(1)\\&+\hat{\beta}_{5}(0) +\hat{\beta}_{6}(100.0000)\\ =&-[0.0730]\cdot (1)-[0.0101]\cdot (0)-[0.0088]\cdot (0)+[0.0376]\cdot (1)\\&+[0.0906]\cdot (0)-[0.0040]\cdot (100.0000)\\ =&-0.4344 \end{split} \end{aligned} \]
（3）（5分）
答：根据题意易知，两个方程式具有如下系数等价关系：
（1）周一：\(\hat{\gamma}_1 = \hat{\alpha}_1 +\hat{\alpha}_2=-0.072957 + (-0.010070) = -0.083027\)
（2）周二：\(\hat{\gamma}_1 + \hat{\gamma}_2 = \hat{\alpha}_1 +\hat{\alpha}_3\)，因此\(\hat{\gamma}_2 = \hat{\alpha}_1 +\hat{\alpha}_3 - \hat{\gamma}_1 = -0.072957 + -0.008812 - (-0.083027) = 0.001257\)
（3）周三：\(\hat{\gamma}_1 + \hat{\gamma}_3 = \hat{\alpha}_1 +\hat{\alpha}_4\)，因此\(\hat{\gamma}_3 = \hat{\alpha}_1 +\hat{\alpha}_4 - \hat{\gamma}_1 = -0.072957 + 0.037626 - (-0.083027) = 0.047696\)
（4）周四：\(\hat{\gamma}_1 + \hat{\gamma}_4 = \hat{\alpha}_1 +\hat{\alpha}_5\)，因此\(\hat{\gamma}_4 = \hat{\alpha}_1 +\hat{\alpha}_5 - \hat{\gamma}_1 = -0.072957 + 0.090559 - (-0.083027) = 0.100629\)
（5）周五：\(\hat{\gamma}_1 + \hat{\gamma}_5 = \hat{\alpha}_1\)，因此\(\hat{\gamma}_5 = \hat{\alpha}_1 - \hat{\gamma}_1 = -0.072957 - (-0.083027) = 0.010070\)
3.（小计10分，共3小题）
（1）（2分）
答： 等价的线性约束条件有两个：\(\beta_7=0;\beta_8=0\)。
（2）（2分）
答： 原假设 \(H_0:\beta_7=0;\beta_8=0\) ，备择假设 \(H_1:\beta_7,\beta_8\)不全为零。
（4）（6分）
答：可以利用无约束方程和有约束模型的可决系数，构建F统计量并进行检验。
注意：此题也可以利用无约束方程和有约束模型的残差平方和，构建F统计量并进行检验。二者结果和结论都是等价的。
a）已知无约束模型的可决系数\(R^2_u=0.309490\)，有约束模型的可决系数\(R^2_u=0.085487\)。根据题（1）可知约束条件个数\(q=2\)。
b）构造并计算线性约束检验的F统计量：
\[ \begin{aligned} F^{\ast}&=\frac{(R^2_u-R^2_r)/q}{(1-R^2_u)/(n-k_f)}\\ &=\frac{( 0.309490 - 0.085487 )/( 2 )}{(1 - 0.309490 )/( 97 - 8 )}\\ &= 14.44 \end{aligned} \]
c）进行F检验判断。已知无约束模型的回归元个数\(k_u=8\)，给定显著性水平\(\alpha = 0.05\)下，F查表值为\(F_{1-\alpha}(q, n-k_u)=F_{0.95}(2,89)=3.10\)。上述样本统计量值\(F^{\ast}=14.44\)大于理论查表值，因此约束条件检验是显著的，表明拥有工会成员身份，对不同性别的就业者时均工资有显著影响。这也表明同学C的猜想是统计上不成立的。
4.（小计10分，共3小题）
（1）（3分）
答： 根据根据无约束模型B的EViews回归结果，已知\(DW=0.745231\)，又已知在 \(k = 7, n = 97, \alpha = 1\%\)下的临界值为 \(d_L =1.360, d_U =1.685\)。根据德斌-沃森检验法的判断准则，可知\(0< DW < d_L\)，则可以判断得出无约束模型B存在一阶正自相关性。
（2）（3分）
答： 根据上述（1）的分析结果，易知\(\hat{\rho} = 1- \frac{DW}{2} = 0.6274\)。
（3）（4分）：
答： 该矫正方法具体为尼威-韦斯特序列相关一致性稳健标准误估计法。与矫正前相比，该方法不会影响回归系数的估计结果，主要会矫正系数估计值的标准误差，进而也会改变系数t统计量值。此外，该矫正方法不会改变判定系数、调整判定系数、残差平方和、回归误差方差、F统计量值、DW值等。