第07章 指数
指数的概念和分类
指数的概念
指数（index）是反映现象数量变动的相对数，用于测定不能直接相加和对比的复杂现象总体的综合变动。
指数的分类
按反映对象范围不同
- 个体指数：反映单一项目变动的相对数
- 总指数：反映多个项目综合变动的相对数
按反映指标性质不同
- 数量指数：反映数量指标变动的指数
- 质量指数：反映质量指标变动的指数
按计算方法不同
- 简单指数：直接对比计算的指数
- 加权指数：考虑权重的指数
加权指数
加权综合指数
拉氏综合指数
拉氏综合指数（Laspeyres index）是以基期变量值为权数计算的加权综合指数。
数量指数：
\[ \begin{align} I_{q(L)}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}} \end{align} \]
质量指数：
\[ \begin{align} I_{p(L)}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n p_{1i} q_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n p_{0i} q_{0i}} \end{align} \]
帕氏综合指数
帕氏综合指数（Paasche index）是以报告期变量值为权数计算的加权综合指数。
数量指数：
\[ \begin{align} I_{q(P)}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{1i}} \end{align} \]
质量指数：
\[ \begin{align} I_{p(P)}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n p_{1i} q_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n p_{0i} q_{1i}} \end{align} \]
加权算术指数
加权算术平均数量指数（拉氏数量）
加权算术平均数量指数是以基期总量为权数计算的加权算术平均指数。
\[ \begin{align} A_q &= \frac{\sum\limits_{i=1}^n (k_{qi} \cdot q_{0i} p_{0i})}{\sum\limits_{i=1}^n (q_{0i} p_{0i})} \\ &= \frac{\sum\limits_{i=1}^n (q_{1i} p_{0i})}{\sum\limits_{i=1}^n (q_{0i} p_{0i})} \end{align} \]
加权算术平均质量指数（拉氏质量）
加权算术平均质量指数是以基期总量为权数计算的加权算术平均指数。
\[ \begin{align} A_p &= \frac{\sum\limits_{i=1}^n (k_{pi} \cdot q_{0i} p_{0i})}{\sum\limits_{i=1}^n (q_{0i} p_{0i})} \\ &= \frac{\sum\limits_{i=1}^n (p_{1i} q_{0i})}{\sum\limits_{i=1}^n (p_{0i} q_{0i})} \end{align} \]
加权调和指数
加权调和平均数量指数（帕氏数量）
加权调和平均数量指数是以报告期总量为权数计算的加权调和平均指数。
\[ \begin{align} H_q &= \frac{\sum\limits_{i=1}^n (q_{1i} p_{1i})}{\sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{1}{k_{qi}} \cdot q_{1i} p_{1i}\right)} \\ &= \frac{\sum\limits_{i=1}^n (q_{1i} p_{1i})}{\sum\limits_{i=1}^n (q_{0i} p_{1i})} \end{align} \]
加权调和平均质量指数（帕氏质量）
加权调和平均质量指数是以报告期总量为权数计算的加权调和平均指数。
\[ \begin{align} H_p &= \frac{\sum\limits_{i=1}^n (p_{1i} q_{1i})}{\sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{1}{k_{pi}} \cdot p_{1i} q_{1i}\right)} \\ &= \frac{\sum\limits_{i=1}^n (p_{1i} q_{1i})}{\sum\limits_{i=1}^n (p_{0i} q_{1i})} \end{align} \]
指数体系与因素分析
指数体系
概念和应用
指数体系是互相联系的指数所构成的体系，其应用主要体现在：
- 作为因素分析法的基础
- 用于指数因素之间的互相换算
两因素分析
两因素的相对数关系分析：
\[ \begin{align} K_{qp} &= K_q \times K_p \\ K_{qp} &= I_{q(L)} \times I_{p(P)} \\ \frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}} &=\frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}} \times \frac{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}} \end{align} \]
两因素的绝对额关系分析：
\[ \begin{align} \left({\sum\limits_{i=1}^n q_{1i}p_{1i}}-{\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}} \right) =\left({\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}} - {\sum\limits_{i=1}^n q_{0i} p_{0i}} \right) + \left({\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n q_{1i} p_{0i}} \right) \end{align} \]
多因素分析
多因素分析的基本原则：
- 把影响复杂总体变动的各个因素，按照数量指标在前，质量指标在后的顺序进行排列
- 当分析某一因素对复杂总体变动的影响时，未被分析的后面诸因素要固定在基期水平，而已被分析过的前面诸因素，则要固定在报告期水平
- 两个相邻的指标相乘必须具有实际经济意义
多因素分析体系变动分析的”连锁替代法”：
\[ \begin{align} K_{ABCD} & = K_A *K_B*K_C*K_D \\ \frac{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}}{\sum\limits_{i=1}^n{A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}}} &=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{0} C_{0} D_{0}}}{\sum\limits_{i=1}^n{A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}}} \times \frac{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{1} C_{0} D_{0}}}{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{0} C_{0} D_{0}}} \times \frac{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{1} C_{1} D_{0}}}{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{1} C_{0} D_{0}}} \times \frac{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}}{\sum\limits_{i=1}^n{A_{1} B_{1} C_{1} D_{0}}} \end{align} \]
平均数指数体系
概念和影响因素
平均数指数是两个平均数直接对比形成的指数，其大小受两个因素影响：
- 各组水平 \(\overline{X_i}\)
- 各组结构 \(f_i\)
\[ \begin{align} \overline{X}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (f_iX_i )}{\sum\limits_{i=1}^n f_i}=\sum\limits_{i=1}^n\left( \frac{f_i}{\sum\limits_{i=1}^n {f_i}} \cdot X_i\right) \end{align} \]
总变动因素分解
总变动的因素分解指数公式：
\[ \begin{align} I_{X f} &= I_f \times I_X \end{align} \]
其中：
总变动指数： \[ \begin{align} I_{X f}=\frac{\overline{X}_{1}}{\overline{X}_{0}}= \left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i} X_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i}} \right) \Bigg/ \left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{0i} X_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n f_{0i}} \right) \end{align} \]
结构变动指数： \[ \begin{align} I_{f}=\frac{\overline{X}_{n}}{\overline{X}_{0}}= \left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i} X_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i}} \right) \Bigg/ \left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{0i} X_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n f_{0i}} \right) \end{align} \]
组水平变动指数： \[ \begin{align} I_{X}=\frac{\overline{X}_{1}}{\overline{X}_{n}}= \left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i} X_{1i}}{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i}} \right) \Bigg/ \left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i} X_{0i}}{\sum\limits_{i=1}^n f_{1i}} \right) \end{align} \]
几种典型的指数
零售价格指数
零售价格指数（retailer price index）是指以现金或信用卡形式支付的零售商品的价格指数。
编制过程：
- 调查地区和调查点的选择（采用分层抽样）
- 编制公式（固定权数的平均数指数）
编制公式：
\[ \begin{align} \overline{K}_p = \frac{\sum\limits_{i = 1}^n (k_{pi} \cdot w_i)}{\sum\limits_{i = 1}^n k_{pi}} \end{align} \]
其中： - \(k_{pi}\)为个体价格指数或价格类指数 - \(w_{i}\)为各层次零售额比重
消费价格指数
消费者价格指数（consumer price index）是对一个固定的消费品篮子价格的衡量，主要反映消费者支付商品和劳务的价格变化情况。
主要作用：
- 反映货币购买力变动：货币购买力指数 = \(\frac{1}{cpi}\times 100\%\)
- 反映对职工实际工资的影响：实际工资 = \(\frac{名义工资}{cpi}\)
- 用于缩减经济序列（剔除货币波动效应）
生产价格指数
生产者价格指数（Producer Price Index）衡量制造商和农场主向商店出售商品的价格指数，主要反映生产资料的价格变化状况。
特点：
- 测量在初级市场上出售的货物的价格变动
- 根据每种商品在非零售市场上首次交易时的价格计算
- 反映生产者价格的提高，也反映消费价格和生活费用未来的趋势
- 通常是按月公布
股票价格指数
股票价格指数（stock price index）反映某一股票市场上多种股票价格变动趋势的一种相对数。
特点：
- 其单位一般用”点”(point)表示，即将基期指数作为100，每上升或下降一个单位称为”1点”
- 计算时一般以发行量为权数进行加权综合
计算公式：
\[ \begin{align} I_{p}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (p_{1 i} q_{i})}{\sum\limits_{i=1}^n (p_{0 i} q_{i})} \end{align} \]
主要证券交易指数：
- 世界主要证券交易所：道·琼斯指数、标准普尔指数、伦敦金融时报FTSE指数、法兰克福DAX指数、巴黎CAC指数、苏黎士SMI指数、日京指数、恒生指数
- 我国大陆：上交所的综合指数和180指数、深交所的成分股指数和综合指数