4.2 相对程度的度量
相对指标概述
计划完成相对指标
结构相对指标
比例相对指标
相对指标概述：概念和作用
相对指标：是两个有联系的绝对指标之比。
示例：2009年我国对外贸易进口总额增长率为16.3%。
作用：
具体表明社会经济现象之间的比例关系。
使一些不能直接对比的事物找出共同比较的基础。
便于记忆、易于保密。
相对指标概述：类型
计划完成相对指标：用来检查、监督计划执行情况的相对指标。
结构相对指标：利用分组法，将总体区分为不同性质（即差异）的各部分，以部分数值与总体全部数值对比而得出比重或比率，用以反映总体内部构成状况的相对指标。
比例相对指标：同一总体内不同组成部分的指标数值对比的结果，用来反映总体内部的比例关系。
比较相对指标：将两个同类指标做静态对比得出的相对指标，表明同类现象在不同条件下的数量对比关系。
强度相对指标：是两个不同性质的、但有一定联系的总量指标对比的结果，用来表明现象的强度、密度和普遍程度的相对指标。
动态相对指标：后面专门一章学习。
相对指标概述：表现形式
相对指标的表现形式有两大类：
有名数形式：分子分母的单位不能化约。
人口密度：人/平方公里
平均每人分摊的粮食产量：千克/人
（案例）钢产量：案例说明
我国三个时期两个年份的钢产量数据如下：
（案例）钢产量：计算指标
根据以上数据，我们可以计算出：
\[
产量变化 \Delta =Q_{t_1} - Q_{t_0}
\]
\[
发展速度\% \quad Speed = 100*Q_{t_1} / Q_{t_0}
\]
\[
增长率\% \quad Ratio =100*(Q_{t_1} - Q_{t_0})/Q_{t_0}=100*\Delta/Q_{t_0}
\] \[
增长1\%的绝对值 = \Delta / Ratio = Q_{t_0}/100
\]
（案例）钢产量：计算表1
根据上述指标公式，可以计算得到：
（案例）钢产量：计算表2
前述计算表，也可进一步变形为：
计划完成相对指标：概念和特征
计划完成相对指标：实际完成数与计划任务数对比的比率。根据分子分母是否属于同一时期，可以分为两类，具体计算公式分别为：
\[
计划完成程度 = \frac{实际完成数}{计划完成数}\times 100\%
\]
\[
计划完成进度 = \frac{计划初期至某期实际累计完成数}{全期计划数}\times 100\%
\]
特征：分子分母不能颠倒位置。
计划完成相对指标：任务下达形式
计划完成相对指标的下达形式主要有三种：
\[
计划完成相对指标 = \frac{实际水平}{计划水平}\times 100\%
\]
\[
计划完成相对指标 = \frac{实际平均水平}{计划平均水平}\times 100\%
\]
\[
\begin{aligned}
计划完成相对指标 = \frac{实际为基数的百分数}{计划为基数的百分数}\times 100\% = \frac{1 \pm 实际增减百分数}{1 \pm 计划增减百分数}\times 100\%
\end{aligned}
\]
（示例）计算计划完成相对指标：以总量指标为基础
问题：设某公司某年计划工业总产值为200万元，实际完成220万元，则计划完成程度为多少？
答案：
\[
\begin{aligned}
\text { 总产值计划完成相对数 }=\frac{220}{200} \times 100 \%=110 \%
\end{aligned}
\]
（示例）计算计划完成相对指标：以平均指标为基础
问题：某化肥企业某年每吨化肥计划成本为200元，实际成本为180元，则计划完成程度为多少？
答案：
\[
实际单位成本-计划单位成本=180-200=-20（元）
\]
计算结果表明该企业化肥单位成本实际比计划降低了10%，平均每吨化肥节约生产费用20元。
\[
\begin{aligned}
\text { 成本计划完成相对数 }=\frac{180}{200} \times 100 \%=90 \%
\end{aligned}
\]
（示例）计算计划完成相对指标：以相对指标为基础
问题：某企业生产某产品，上年度实际成本为420元/吨，本年度计划单位成本降低6%，实际降低7.6%，则计划完成程度为多少？
答案1：
\[
\begin{aligned}
\text { 成本降低率计划完成相对数 }=\frac{1-7.6 \%}{1-6 \%} \times 100 \%=98.29 \%
\end{aligned}
\]
答案2：本题也可换算成绝对数计算。
\[
\begin{array}{ccc}
\text { 计划: } & -6 \% & \sim \text { 394. 8元/吨 } & {[(1-6 \%) \times 420]} \\
\text { 实际: } & -7.6 \% & \sim 388.08 \text { 元 } / \text { 吨 } & {[(1-7.6 \%) \times 420]}
\end{array}
\]
\[
\begin{aligned}
\text { 成本降低率计划完成相对数 }=\frac{388.08}{394.8} \times 100 \%=98.29 \%
\end{aligned}
\]
计划完成相对指标：中长期计划
中长期计划执行情况检查：
- 水平法：根据计划末期实际达到水平与计划规定末期应达到水平对比，来确定是否完成全期计划。
\[
\begin{aligned}
\text { 计划完成程度 }=\frac{\text { 计划末期实际达到水平 }}{\text { 计划末期应达到水平 }} \times 100 \%
\end{aligned}
\]
- 累计法：整个计划期间实际完成的累计数与全期计划数对比，来确定是否完成全期计划。
\[
\begin{aligned}
\text { 计划完成程度 }=\frac{\text { 实际全期累计完成数 }}{\text { 计划全期累计数 }} \times 100 \%
\end{aligned}
\]
计划完成相对指标：提前完成时间
计算提前完成计划时间
（示例1）中长期计划提前期：水平法
例题：某地区按五年计划规定，最后一年国民生产总值应达到520亿元，实际国民生产总值如下表所示：
问题：请用水平法计算提前多长时间完成计划任务？
解答：根据水平法，只需要连续一个自然年（12个月）达到年计划产值，就算完成任务 \(^\ast\) 。通过观察和计算可以发现：第4年下半年+第5年第1季度+第5年第2季度= \((220+140+160)=520\) 。因此提前了两个季度完成520亿元的年度计划任务。
（示例2）中长期计划提前期：水平法1（例题提问）
某产品计划年度任务产量为56万吨，实际第五年产量63万吨，现假定第4年、第5年各月完成情况如下：
问题：请用水平法计算提前多少天完成计划任务？
（示例2）中长期计划提前期：水平法2（解答思路）
根据水平法，只需要连续一个自然年（12个月）达到年计划产量，就算完成任务产量56万吨 \(^\ast\) 。容易计算得到，12个月滚动累加的结果如下表。
（示例2）中长期计划提前期：水平法3（分析求解）
根据上述滚动12月累加，可以发现正好生产56万吨的时间应是：“第4年8月第31-X天到第5年8月第(31-X)天”的连续12个月。如下图所示。
（示例2）中长期计划提前期：水平法4（计算结果）
假定月内产量是均匀分布的，则有如下等式：
\[
\begin{aligned}
\frac{4}{31} X+51+\frac{6}{31}\left(31-X \right) &=56 \\
X &= 15.5
\end{aligned}
\]
也即：提前4个月又15天半完成五年计划的年度目标计划任务。
（示例3）中长期计划提前期：累计法
例题：某地区按五年计划规定，固定资产投入额为30亿元，实际投入情况如下表所示：
问题：请用累计法计算提前多长时间完成计划任务？
根据累计法，从期初开始累计达到计划投入额30亿元，即为达成目标，剩余日期即为提前期。通过观察和计算可以发现：第1年至第4年实际投入额累加= \((6+7+8+9)=30\) 。因此完成计划时间为第4年，也即意味着提前1年完成五年计划规定任务。
结构相对指标：概念和特征
结构相对指标：反映某个总体内，有机构成的组成部分在系统中的地位，具体通过同一总体中部分数值与总体数值之比来衡量。
指标特征：
计算公式：
\[
结构相对指标 = \frac{总体部分数值}{总体全部数值}\times 100\%
\]
结构相对指标：作用
结构相对指标的作用主要体现在：
比例相对指标：概念和特征
比例相对指标：反映某个总体内，某一组成部分与其他组成部分的地位对比关系，具体通过同一总体中各组成部分之间数值之比来衡量。
指标特征：分子分母可以颠倒
计算公式：
\[
比例相对指标 = \frac{总体某一部分数值}{总体中另一部分数值}\times 100\%
\]
比例相对指标：类型与形式
比例相对指标有两类表现形式：
示例：我国2000年第五次人口普查结果，男女性别比例为106.74:100，这说明以女性为100，男性人口是女性人口数的106.74倍。2009年我国出生人口性别比为119.45，比2008年下降了1.11。
示例：2009年上海GDP抽象化为100，第一产业、第二产业、第三产业的比例为：0.7︰39.9︰59.4
（示例）比例相对指标
示例：某学院两个学科的人数统计表如下：
计算比例相对指标：
比较相对指标：概念和特征
比较相对指标：反映同类现象不同条件下（不同时间/空间之间）的指标对比。
计算公式：
\[
比较相对指标 = \frac{某一条件下某类指标数值}{另一条件下同类指标数值}\times 100\%
\]
指标特征：
例如：单位产品的质量、成本、单耗等技术经济指标。
（示例）比较相对指标：两个示例（可互换）
示例1：2015年甲、乙两地国民生产总值分别为50亿元和60亿元。请计算比较相对指标，对比分析两地情况？
计算比较相对指标：
此处，假定以甲乙两地的地位是无差异的，则分子分母可互换。
甲地国民收入是乙地的1.2倍： \(R_{c1} = \frac{60}{50} =1.2\) 。
乙地国民收入是甲地的83.3%： \(R_{c1} = \frac{50}{60}\times 100\% =83.3\%\) 。
（示例）比较相对指标：两个示例（不宜换）
示例2：某年有甲、乙两企业同时生产一种性能相同的产品，甲企业工人劳动生产率为19,307元，乙企业为27,994元。请计算比较相对指标，对比分析两企业情况？
计算比较相对指标：
强度相对指标：概念和作用
强度相对指标：两个性质不同但又相互联系的总量指标的对比。
计算公式：
\[
强度相对指标 = \frac{某一总体指标数值}{另一有联系的总体指标数值}\times 100\%
\] 指标作用：
强度相对指标：表现形式
强度相对数的主要有两种表现形式：
有些强度相对指标有正指标/逆指标两种计算方法。
（示例）计算强度相对指标
示例：某城市人口100万人，有零售商业机构5000个。请计算强度相对指标，分析商业网点密度情况。
解答：可以分别计算出商业网店密度的正指标和逆指标。
动态相对指标：概念和特征
动态相对指标：同类现象同一空间不同时间指标的对比。
计算公式：其中一个指标为“发展水平”。
\[
动态相对指标 = \frac{某一现象报告期数值}{同一现象基期数值}\times 100\%
\] 指标特征：分子分母不能颠倒。
（示例）计算动态相对指标
案例：某地2014年和2015年国民生产总值分别为56 亿元和60亿元。请计算动态相对指标，分析其经济发展状况。
解答：我们可以计算其国民生产总值的发展水平相对指标。
\[
R_p= \frac{60}{56}\times 100\%=107\%
\]
集中趋势：概述
集中趋势（central tendency）：一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度。
众数：概念和特征
众数（Mode）：一组数据中出现次数最多的变量值，一般记为 \(M_o\) 。
众数的特征：
适合于数据量较多时使用。
不受极端值的影响。
一组数据可能没有众数或有几个众数。
主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据。
（示例）众数的表现形式：河流长度（案例说明）
案例说明：对三个地区各6条河流的长度进行测量，得到如下的数据表：
3个地区的河流及长度（100公里）
| R1 |
10 |
6 |
25 |
| R2 |
5 |
5 |
28 |
| R3 |
9 |
9 |
28 |
| R4 |
12 |
8 |
36 |
| R5 |
6 |
5 |
42 |
| R6 |
8 |
5 |
42 |
（示例）众数的表现形式：河流长度（无众数）
a.频次表：对于地区1（area1）的6条河流，我们可以统计得到不同长度（length）下的河流数（n），得到如下的频次数据表：
| area1 |
5 |
1 |
| area1 |
6 |
1 |
| area1 |
8 |
1 |
| area1 |
9 |
1 |
| area1 |
10 |
1 |
| area1 |
12 |
1 |
b.示意图：因为每条河流都有不同的长度，出现频次全部等于1。因此，地区1的河流长度无众数。
（示例）众数的表现形式：河流长度（单众数）
a.频次表：对于地区2（area2）的6条河流，我们可以统计得到不同长度（length）下的河流数（n），得到如下的频次数据表：
| area2 |
5 |
3 |
| area2 |
6 |
1 |
| area2 |
8 |
1 |
| area2 |
9 |
1 |
b.示意图：因为长度为5（百km）出现频次最多（3次）。因此，地区2的河流长度有1个众数，且 \(M_{o1}=5\) 。
（示例）众数的表现形式：河流长度（多众数）
a.频次表：对于地区3（area3）的6条河流，我们可以统计得到不同长度（length）下的河流数（n），得到如下的频次数据表：
| area3 |
25 |
1 |
| area3 |
28 |
2 |
| area3 |
36 |
1 |
| area3 |
42 |
2 |
b.示意图：因为长度为28（百km）和42（百km）都出现频次最多（2次）。因此，地区3的河流长度有2个众数，且 \(M_{o1}=28;M_{o1}=42\) 。示意简图如下1：
众数计算：概览
A.对于单项式分配数列：观察法，识别频次最多的组。
B.对于组距式分配数列：由最多次数来确定众数所在组；利用比例插值法推算众数的近似值。
\[
\begin{aligned}
M_{0}=X_{L}+\frac{\Delta_{1}}{\Delta_{1}+\Delta_{2}} \cdot d
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
M_{0}=X_{U} - \frac{\Delta_{2}}{\Delta_{1}+\Delta_{2}} \cdot d
\end{aligned}
\]
众数计算：组距式数列（图形示意）
众数计算：组距式数列（上限公式）
给定上限值，则采用上限插值公式：
\[
\begin{aligned}
\Rightarrow \frac{x}{d-x}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta_{2}} \Rightarrow x=\frac{\Delta_{1} \cdot d}{\Delta_{1}+\Delta_{2}} \Rightarrow \mathrm{M}_{0}=X_{4 U}-(d-x)=X_{4 U}-\frac{\Delta_{2} \cdot d}{\Delta_{1}+\Delta_{2}}
\end{aligned}
\]
众数计算：组距式数列（下限公式）
给定下限值，则采用下限插值公式：
\[
\begin{aligned}
\Rightarrow \frac{x}{d-x}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta_{2}} \Rightarrow x=\frac{\Delta_{1} \cdot d}{\Delta_{1}+\Delta_{2}} \Rightarrow \mathrm{M}_{0}=\mathrm{X}_{4 L}+\frac{\Delta_{1} \cdot d}{\Delta_{1}+\Delta_{2}}
\end{aligned}
\]
众数计算：组距式数列（图形示意）
众数计算：组距式数列（上限公式）
给定上限值，则采用上限插值公式：
\[
\begin{aligned}
\Rightarrow \frac{x}{d-x}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta_{2}} \Rightarrow x=\frac{\Delta_{1} \cdot d}{\Delta_{1}+\Delta_{2}} \Rightarrow \mathrm{M}_{0}=X_{4 U}-(d-x)=X_{4 U}-\frac{\Delta_{2} \cdot d}{\Delta_{1}+\Delta_{2}}
\end{aligned}
\]
众数计算：组距式数列（下限公式）
给定下限值，则采用下限插值公式：
\[
\begin{aligned}
\Rightarrow \frac{x}{d-x}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta_{2}} \Rightarrow x=\frac{\Delta_{1} \cdot d}{\Delta_{1}+\Delta_{2}} \Rightarrow \mathrm{M}_{0}=\mathrm{X}_{4 L}+\frac{\Delta_{1} \cdot d}{\Delta_{1}+\Delta_{2}}
\end{aligned}
\]
（示例）：众数计算（单项式数列）1
案例说明：某饮料便利店一天内不同品牌饮料的销售情况如下表所示。请计算众数是什么？
解答：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量（nominal），不同类型的饮料就是变量值。所调查的50人中，购买碳酸饮料的人数最多（15人），占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即： \(M_0=\) 碳酸饮料。
（示例）：众数计算（单项式数列）2
案例说明：甲城市300家庭对住房状况进行评价，数据统计情况如下表所示。请计算众数是什么？
解答：这里的变量为“住房状况评价”，这是个顺序变量（orderial），不同类型的饮料就是变量值。所调查的300人中，甲城市中对住房表示不满意的户数最多（108户），因此众数为“不满意”这一类别，即： \(M_0=\) 碳酸饮料。
（示例）：众数计算（组距式数列）
案例说明：200人的收入水平调查分组数据见右表，请计算收入的众数是多少？
解题思路：先观察众数在第三组（“1500-2000”）。再利用插值公式计算。
\[
\begin{aligned}
\text { 下限公式: } M_{o}&=1500+\frac{70-37}{(70-37)+(70-43)} \times 500=1775(\text { 元 })
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\text { 上限公式: } M_{o}&=2000-\frac{70-43}{(70-37)+(70-43)} \times 500=1775(\text { 元 })
\end{aligned}
\]
众数特征：总结
下面对众数及其计算做一个小结：
在组距式数列的插值近似计算中，众数的确定受相邻两个组频次的影响。
若 \(f_{m-1}=f_{m+1}\) ，则众数取值等于众数组的组中值。
若 \(f_{m-1} < f_{m+1}\) ，则众数取值大于众数组的组中值，从而接近于组上限值。
若 \(f_{m-1} > f_{m+1}\) ，则众数取值小于众数组的组中值，从而接近于组下限值。
中位数：概念和特征
中位数（median） ：排序后处于中间位置上的变量值，一般记为 \(M_e\) 。
中位数的特征：
\[
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n}\left|X_{i}-M_{\mathrm{e}}\right|=\min
\end{aligned}
\]
中位数计算：概览
情形1：未分组资料确定中位数；
a.先排序。b.再确定中位数所在位置。c.再确定中位数。
情形2：分组资料确定中位数；
a.计算累积百分比，确定中位数所在组。b.确定中位数。
a.计算累积百分比，确定中位数所在组。b.（利用插值公式近似）确定中位数。
中位数计算：未分组资料
第一步：中位数的位置 \(p\) 的确定。
\[
\begin{aligned}
p = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{n+1}{2} & (n \text {为奇数}) \\
\frac{n}{2}, \frac{n}{2}+1 & (n \text {为偶数})
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]
第二步：数值的确定。
\[
\begin{aligned}
M_{e}=\left\{\begin{array}{ll}
X_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & (n \text {为奇数}) \\
\frac{1}{2}\left (X_{\left(\frac{n}{2}\right)}+X_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right) & (n \text {为偶数 })
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]
（示例）：未分组数据计算中位数
案例说明：有7名工人生成同种产品，日产量分别为：
W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7
10 21 12 15 14 19 17
解题过程：我们注意到数据样本量 \(n=\) 7，为奇数。
W1 W3 W5 W4 W7 W6 W2
10 12 14 15 17 19 21
（示例）：未分组数据计算中位数
案例说明：继续前面案例数据，假设增加另1名工人的日产量数据：
W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8
22 10 21 12 15 14 19 17
解题过程：我们注意到数据样本量 \(n=\) 8，为偶数。
W2 W4 W6 W5 W8 W7 W3 W1
10 12 14 15 17 19 21 22
中位数计算：单项式分组数列
主要计算步骤：
第一步：先按组顺序，计算累计分布次数（较大制或较小制）。
第二步：再确定中位数所在的位置： \(p= \frac{\sum{f_i}}{2}\) 。
第三步：根据计算的位置，找到该位置所在组，并确定中位数 \(M_e\) 。
示例：单项式数列计算中位数（案例说明）
案例说明：甲城市300家庭对住房状况进行评价，评价（satisfication）采用五分制里克特量表，人数分布的统计情况如下表所示。请计算中位数是什么？
示例：单项式数列计算中位数（分析过程）
解题思路：
首先计算较小累计频数（cumsum *）（见左）。
然后计算中位数的位置 \(p= \frac{300+1}{2}=150.5\)
根据累计频数观察得到中位数为： \(M_e=\) “一般”。
案例说明：某工厂共有105个工人，全体工人的日产量（ \(X\) ，件/日）经过分组统计后（ \(G1 \sim G6\) ），各组工人人数（ \(n\) ）的数据如下表所示。请计算中位数是什么？
（示例）单项式数列计算中位数：分析过程
解题思路：
首先计算并得到较小累计频数（cumsum*）（见左）。
然后计算中位数的位置 \(p= \frac{(\sum{f_i}+1)}{2}=\frac{105+1}{2}=53\) ，根据累计频数观察得到中位数位置为 \(p =\) 第4组（日产量=8）。
根据中位数所在位置，得到中位数为： \(M_e=8\) （件）。
中位数计算：组距式分组数列
主要计算步骤：
第一步：先按组顺序，计算累计分布次数（较大制或较小制）。
第二步：再确定中位数所在的位置： \(p= \frac{\sum{f_i}}{2}\) 。
第三步：根据计算的位置，找到该位置所在组，初步确定中位数 \(M_{e1}\) 。
第四步：利用合适的插值公式，近似计算得到更为“精确”的中位数数值 \(M_{e2}\) 。
（演示）中位数计算：较小制下限插值公式
较小制且给定下限值时的相关定义：
\(X_{L}\) 表示组下限（Lower limits）； \(X_{U}\) 表示组上限（Upper limits）。
\(d\) 表示众数组的组距（width）； \(x\) 表示待求解的组距部分。
\(f_{m}\) 表示中位数组的频次, \(S_{m-1}\) 表示中位数所在组的前一组的较小累计频次； \(y\) 表示与 \(x\) 宽度相对应频次。
（演示）中位数计算：较小制下限插值公式
较小制给定下限值时，则采用较小制下限公式 \((Min, Lower)\) ：
\[
\begin{aligned}
\frac{x}{d} = \frac{\left(\sum{f_i}/{2}-S_{m-1}\right)}{f_m} \quad
\Rightarrow \quad
M_{eL}=X_{L}+ x \\
M_{eL}= X_{L}+\frac{\frac{\sum f}{2}-S_{m-1}}{f_{m}} \cdot d
\end{aligned}
\]
（演示）中位数计算：较小制上限插值公式
较小制且给定上限值时的相关定义：
\(X_{L}\) 表示组下限（Lower limits）； \(X_{U}\) 表示组上限（Upper limits）。
\(d\) 表示众数组的组距（width）； \(x\) 表示待求解的组距部分。
\(f_{m}\) 表示中位数组的频次, \(S_{m}\) 表示中位数所在组的较小累计频次； \(y\) 表示与 \(x\) 宽度相对应频次。
（演示）中位数计算：较小制上限插值公式
较小制给定下限值时，则采用较小制上限公式 \((Min, Upper)\) ：
\[
\begin{aligned}
\frac{x}{d} = \frac{\left(S_{m} - \sum{f_i}/{2}\right)}{f_m} \quad
\Rightarrow \quad
M_{eU}=X_{U} -x \\
M_{eU}=X_{U} -\frac{S_{m} - \frac{\sum f}{2}}{f_{m}} \cdot d
\end{aligned}
\]
（演示）中位数计算：较大制下限插值公式
较大制且给定下限值时的相关定义：
\(X_{L}\) 表示组下限（Lower limits）； \(X_{U}\) 表示组上限（Upper limits）。
\(d\) 表示众数组的组距（width）； \(x\) 表示待求解的组距部分。
\(f_{m}\) 表示中位数组的频次, \(S_{m}\) 表示中位数所在组的较大累计频次； \(y\) 表示与 \(x\) 宽度相对应频次。
（演示）中位数计算：较大制下限插值公式
较大制给定下限值时，则采用较大制下限公式 \((Max, Lower)\) ：
\[
\begin{aligned}
\frac{x}{d} = \frac{\left(S_{m}- \sum{f_i}/{2}\right)}{f_m} \quad
\Rightarrow \quad
M_{eL}=X_{L}+ x \\
M_{eL}= X_{L}+\frac{S_{m} -\frac{\sum f}{2}}{f_{m}} \cdot d
\end{aligned}
\]
（演示）中位数计算：较大制上限插值公式
较大制且给定上限值时的相关定义：
\(X_{L}\) 表示组下限（Lower limits）； \(X_{U}\) 表示组上限（Upper limits）。
\(d\) 表示众数组的组距（width）； \(x\) 表示待求解的组距部分。
\(f_{m}\) 表示中位数组的频次, \(S_{m+1}\) 表示中位数所在组的后一组的较小累计频次； \(y\) 表示与 \(x\) 宽度相对应频次。
（演示）中位数计算：较大制上限插值公式
较大制给定上限值时，则采用较大制上限公式 \((Max, Upper)\) ：
\[
\begin{aligned}
\frac{x}{d} = \frac{\left( \sum{f_i}/{2} -S_{m+1} \right)}{f_m} \quad
\Rightarrow \quad
M_{eU}=X_{U} -x \\
M_{eU}=X_{U} -\frac{\frac{\sum f}{2} -S_{m+1} }{f_{m}} \cdot d
\end{aligned}
\]
案例说明：某工厂共有164个工人，全体工人的日产量（X）经过分组统计后（ \(G1 \sim G7\) ），各组工人人数（n）的分布数据如下表所示。请计算中位数是什么？
| G1 |
60Kg以下 | |
0 | |
| G2 |
60-70Kg |
19 |
| G3 |
70-80Kg |
50 |
| G4 |
80-90Kg |
36 |
| G5 |
90-100Kg |
27 |
| G6 |
100-110Kg |
14 |
| G7 |
110Kg以上 | |
8 | |
| Total |
- |
164 |
（示例）较小制情形下中位数计算：粗略结果
| G1 |
60Kg以下 | |
0 | |
10 | |
| G2 |
60-70Kg |
19 |
29 |
| G3 |
70-80Kg |
50 |
79 |
| G4 |
80-90Kg |
36 |
115 |
| G5 |
90-100Kg |
27 |
142 |
| G6 |
100-110Kg |
14 |
156 |
| G7 |
110Kg以上 | |
8 | |
164 | |
| Total |
- |
164 |
NA |
解题思路：
首先计算并得到较小制累计频次表*（cumsum）（见左）。
然后计算中位数的位置 \(p= \frac{(\sum{f_i})}{2}=\frac{164}{2}=82\) ，根据累计频数观察得到中位数位置为 \(p =4\) ， 也即第G4组（日产量80-90Kg）。
根据中位数所在位置，初步得到中位数为： \(M_e=\) “80-90Kg”。
（示例）较小制情形下中位数计算：插值公式结果
| G1 |
60Kg以下 | |
0 | |
10 | |
| G2 |
60-70Kg |
19 |
29 |
| G3 |
70-80Kg |
50 |
79 |
| G4 |
80-90Kg |
36 |
115 |
| G5 |
90-100Kg |
27 |
142 |
| G6 |
100-110Kg |
14 |
156 |
| G7 |
110Kg以上 | |
8 | |
164 | |
| Total |
- |
164 |
NA |
\[
\begin{aligned}
M_{eL}&=X_{L}+\frac{\frac{\sum f}{2}-S_{m-1}}{f_{m}} \cdot d \\
& =80+\frac{82-79}{36} * 10 \\
& =80.8333
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
M_{eU}
&=X_{U}-\frac{S_{m}-\frac{\sum f}{2}}{f_{m}} \cdot d \\
&=90-\frac{115-82}{36} * 10 \\
&=80.8333
\end{aligned}
\]
（示例）较大制情形下中位数计算：粗略结果
| G1 |
60Kg以下 | |
0 | |
164 | |
| G2 |
60-70Kg |
19 |
154 |
| G3 |
70-80Kg |
50 |
135 |
| G4 |
80-90Kg |
36 |
85 |
| G5 |
90-100Kg |
27 |
49 |
| G6 |
100-110Kg |
14 |
22 |
| G7 |
110Kg以上 | |
8 | |
8 | |
| Total |
- |
164 |
NA |
解题思路：
首先计算并得到较大制累计频次表*（cumsum）（见左）。
然后计算中位数的位置 \(p= \frac{(\sum{f_i})}{2}=\frac{164}{2}=82\) ，根据累计频数观察得到中位数位置为 \(p =4\) ， 也即第G4组（日产量80-90Kg）。
根据中位数所在位置，初步得到中位数为： \(M_e=\) “80-90Kg”。
（示例）较大制情形下中位数计算：插值公式结果
| G1 |
60Kg以下 | |
0 | |
164 | |
| G2 |
60-70Kg |
19 |
154 |
| G3 |
70-80Kg |
50 |
135 |
| G4 |
80-90Kg |
36 |
85 |
| G5 |
90-100Kg |
27 |
49 |
| G6 |
100-110Kg |
14 |
22 |
| G7 |
110Kg以上 | |
8 | |
8 | |
| Total |
- |
164 |
NA |
\[
\begin{aligned}
M_{eU}&=X_{L}+\frac{S_{m} -\frac{\sum f}{2}}{f_{m}} \cdot d \\
& =80+\frac{85-82}{36} * 10 \\
& =80.8333
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
M_{eU}
&=X_{U}-\frac{\frac{\sum f}{2} - S_{m+1}}{f_{m}} \cdot d \\
&=90-\frac{82-49}{36} * 10 \\
&=80.8333
\end{aligned}
\]
中位数特征：总结1
中位数不受极端值及开口组的影响，具有稳健性。
各单位标志值与中位数离差的绝对值之和是个最小值。
\[
\begin{aligned}
\sum\left|X-M_{e}\right|=\min ;\quad or \quad
\sum{\left|X-M_{e}\right|f_i}=\min
\end{aligned}
\]
- 对某些不具有数学特点或不能用数字测定的现象，可用中位数求其一般水平。
中位数特征：总结2
中位数数值 \(M_e\) 受到中位数所在组的较小累计频次 \(S_{(m,Min)}\) 及较大累计频次 \(S_{(m,Max)}\) 数值大小的共同影响。
- 若 \(S_{(m,Min)} = S_{(m,Max)}\) ，则中位数所在组的组中值等于插值近似计算值，也即：
\[
M_e = M_{eL}= M_{eU}= \frac{X_U +X_L}{2}
\]
- 若 \(S_{(m,Min)} < S_{(m,Max)}\) ，则插值近似计算值更加接近于中位数所在组的组上限值，也即：
\[
M_e = M_{eL}= M_{eU} \ll X_U
\]
- 若 \(S_{(m,Min)} > S_{(m,Max)}\) ，则插值近似计算值更加接近于中位数所在组的组下限值，也即：
\[
M_e = M_{eL}= M_{eU} \gg X_L
\]
四分位数：概念和特征
四分位数（Quartile）：排序后处于25%和75%位置上的值，包括四分之一位数（ \(Q_1\) ）和四分之三位数（ \(Q_3\) ）。
四分位数的特征：
四分位数：计算方法
情形1：未分组资料确定分位数；
a.先排序。b.再确定1/4和3/4分割点位置。c.再确定两个分位数 \(Q_1\) 和 \(Q_3\) 。
情形2：分组资料确定分位数；
a.确定1/4和3/4分割点位置。b.再确定两个分位数 \(Q_1\) 和 \(Q_3\) 。
a.计算累积频次，确定1/4和3/4分割点位置。b.初步确定两个分位数（所在组） \(Q_1\) 和 \(Q_3\) 。c.最后（利用插值公式近似）相对“精确地”估算两个分位数 \(Q_1\) 和 \(Q_3\) 。
四分位数计算：未分组资料
未分组资料的四分位数计算，主要步骤如下：
第一步：将总体各单位的标志值按大小顺序排列/或分组排序。
第二步：确定1/4和3/4分割点位置 \(p_1\) 和 \(p_3\) 。
\[
\begin{aligned}
p_1 = \frac{n+1}{4} ; \quad
p_3 = \frac{3(n+1)}{4}
\end{aligned}
\]
第三步：确定两个分位数 \(Q_1\) 和 \(Q_3\) 。
（示例）：未分组数据计算分位数
案例说明：有11名工人生成同种产品，日产量分别为：
W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11
2 7 5 6 8 12 9 10 16 15 20
解题过程：我们注意到数据样本量 \((n+1)/4=\) 3，为整数。
W1 W3 W4 W2 W5 W7 W8 W6 W10 W9 W11
2 5 6 7 8 9 10 12 15 16 20
（示例）：未分组数据计算中位数
案例说明：继续前面案例数据，假设增加另1名工人的日产量数据：
W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12
22 2 7 5 6 8 12 9 10 16 15 20
解题过程：我们注意到数据样本量 \((n+1)/4=\) 3，不是整数。
W2 W4 W5 W3 W6 W8 W9 W7 W11 W10 W12 W1
2 5 6 7 8 9 10 12 15 16 20 22
四分位数计算：单项式数列
单项式数列的四分位数计算，主要步骤如下：
第一步：计算累计频次表。
第二步：确定1/4和3/4分割点位置 \(p_1 =\frac{\sum{f_i}}{4}\) 和 \(p_3 =\frac{3\sum{f_i}}{4}\) 。
第三步：观察比较分割点位置和累计频次，确定得到两个分位数 \(Q_1\) 和 \(Q_3\) 。
（示例）：单项式数列计算四分位数
案例说明：继续前面甲城市家庭住房评价案例数据，请你计算出相应的两个四分位数？
甲城市住房满意度评价统计表
| 非常不满意 | 24 |
| 2 |
| |
| 不满意 | 1 |
8 | |
32 | |
| 一般 | |
3 | |
225 | |
| 满意 | |
5 | |
270 | |
| 非常满意 | 30 |
| 3 |
0 | |
| Total |
300 |
NA |
四分位数计算：组距式数列
组距式数列的四分位数计算，主要步骤如下：
第一步：先按组顺序，计算累计分布次数（较大制或较小制）。
第二步：再确定1/4和3/4分割点位置 \(p_1 =\frac{\sum{f_i}}{4}\) 和 \(p_3 =\frac{3\sum{f_i}}{4}\) 。
第三步：根据计算的位置，找到该分割点位置所在组，初步确定四分位数 \(Q_1\) 和 \(Q_3\) 。
第四步：利用合适的插值公式，近似计算得到更为“精确”的中位数数值 \(Q_1\) 和 \(Q_3\) 。
（演示）分位数计算：较小制下限插值公式(定义)
\(Q_{j}\) 表示四分位数，其中 \(j \in 1,3\) 。 \(X_{Q_jL}\) 表示组下限（Lower limits）； \(X_{Q_jU}\) 表示组上限（Upper limits）。 \(d_{Q_j}\) 表示分位数组的组距（width）； \(x_j\) 表示待求解的组距部分。
\(f_{i}\) 表示各组所对应的频次，其中 \(i \in 1,2,\cdots,5\) 。 \(f_{Q_j}\) 表示分位数组的频次 \(p_j\) 表示1/4或3/4分割位置，其中： \(p_1=\frac{\sum{f_i}}{4}\) ， \(p_3=\frac{3\sum{f_i}}{4}\) 。
\(S_{Q_j-1}\) 表示相应分位数所在组的前一组的较小累计频次； \(y_j\) 表示与 \(x_j\) 宽度相对应频次。
（演示）分位数计算：较小制下限插值公式(Q1)
四分之一位数的较小制下限插值公式：
\[
\begin{aligned}
\frac{x_1}{d_{Q_1}} = \frac{y_1}{f_{Q_1}}
=\frac{p_1-S_{Q_1-1}}{f_{Q_1}}
\quad \Rightarrow \quad
Q_{1L}=X_{\mathrm{Q}_{1} L}+\frac{\frac{\sum f_i}{4}-S_{Q_{1}-1}}{f_{Q_1}} \cdot d_{Q_1}
\end{aligned}
\]
（演示）分位数计算：较小制下限插值公式(Q3)
四分之三位数的较小制下限插值公式：
\[
\begin{aligned}
\frac{x_3}{d_{Q_3}} = \frac{y_3}{f_{Q_3}}
=\frac{p_3-S_{Q_3-1}}{f_{Q_3}}
\quad \Rightarrow \quad
Q_{3L}=X_{\mathrm{Q}_{3} L}+\frac{\frac{3\sum f_i}{4}-S_{Q_{3}-1}}{f_{Q_3}} \cdot d_{Q_3}
\end{aligned}
\]
（示例）较小制分位数计算：粗略结果
较小制累计频次表
| G1 |
60Kg以下 | |
0 | |
10 | |
| G2 |
60-70Kg |
19 |
29 |
| G3 |
70-80Kg |
50 |
79 |
| G4 |
80-90Kg |
36 |
115 |
| G5 |
90-100Kg |
27 |
142 |
| G6 |
100-110Kg |
14 |
156 |
| G7 |
110Kg以上 | |
8 | |
164 | |
| Total |
- |
164 |
NA |
解题思路：
首先计算并得到较小制累计频次表（cumsum）（见左）。
然后计算分位数分割位置 \(p_1= \frac{\sum{f_i}}{4}=\frac{164}{4}=41\) ， \(p_3= \frac{3\sum{f_i}}{4}=\frac{3*164}{4}=123\) 。
对照分位数的位置 \(p_j\) 和较小累计频数，初步得到分位数： \(Q_1 =\) “70-80Kg”（G3组）； \(Q_3 =\) “90-100Kg”（G5组）。
（示例）较小制分位数计算：下限插值公式
较小制累计频次表
| G1 |
60Kg以下 | |
0 | |
10 | |
| G2 |
60-70Kg |
19 |
29 |
| G3 |
70-80Kg |
50 |
79 |
| G4 |
80-90Kg |
36 |
115 |
| G5 |
90-100Kg |
27 |
142 |
| G6 |
100-110Kg |
14 |
156 |
| G7 |
110Kg以上 | |
8 | |
164 | |
| Total |
- |
164 |
NA |
\[
\begin{aligned}
Q_{1L}
&=X_{\mathrm{Q}_{1} L}+\frac{\frac{\sum f_i}{4}-S_{Q_{1}-1}}{f_{Q_1}} \cdot d_{Q_1} \\
&= 70+\frac{\frac{164}{4}-29}{50} \times 10=72.4
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
Q_{3L}
&=X_{\mathrm{Q}_{3} L}+\frac{\frac{3\sum f_i}{4}-S_{Q_{3}-1}}{f_{Q_3}} \cdot d_{Q_3} \\
&=90+\frac{3 \times \frac{164}{4}-115}{27} \times 10=92.96
\end{aligned}
\]
含义：两个分位数之差，即为四分位差（QD）： \(\mathbf{QD} =Q_{3}-Q_{1} =92.96-72.4 =20.56\) 。这表明：有一半工人的日产量分布在72.4 \(\sim\) 92.96之间，他们的最大差异为20.56Kg。
（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(情景)
计算情形：只给出较小制累计次数，而且初步已知 \(Q_1\) 和 \(Q_3\) 的粗略位置（如图中所示分别为第2组和第4组）。请精确计算 \(Q_1\) 和 \(Q_3\) 的值。
（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(推导)
\(Q_{j}\) 表示四分位数，其中 \(j \in 1,3\) 。 \(X_{Q_{jL}}\) 表示组下限（Lower limits）； \(X_{Q_{jU}}}\) 表示组上限（Upper limits）。 \(d_{Q_{j}}\) 表示分位数组的组距（width）； \(x_j\) 表示待求解的组距部分。
\(f_i\) 表示各组所对应的频次，其中 \(i \in 1,2,\cdots,5\) 。 \(f_{{Q_j}}\) 表示分位数组的频次。 \(p_j\) 表示1/4或3/4分割位置，其中： \(p_1=\frac{\sum{{f_i}}}{4}\) ， \(p_3=\frac{{3\sum{f_i}}{4}\) 。
\(S_{{Q_j}}\) 表示相应分位数所在组的较小累计频次； \(y_j\) 表示与 \(x_j\) 宽度相对应频次。
（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(Q1)
四分之一位数的较小制上限插值公式：
\[
\begin{aligned}
\frac{x_1}{d_{Q_1}} = \frac{y_1}{f_{Q_1}}
=\frac{S_{Q_1}-p_1}{f_{Q_1}}
\quad \Rightarrow \quad
Q_{1U}=X_{\mathrm{Q}_{1} U} - \frac{S_{Q_{1}}-\frac{\sum f_i}{4}}{f_{Q_1}} \cdot d_{Q_1}
\end{aligned}
\]
（演示）分位数计算：较小制上限插值公式(Q3)
四分之三位数的较小制上限插值公式：
\[
\begin{aligned}
\frac{x_3}{d_{Q_3}} = \frac{y_3}{f_{Q_3}}
=\frac{S_{Q_3}-p_3}{f_{Q_3}}
\quad \Rightarrow \quad
Q_{3U}=X_{\mathrm{Q}_{3}U} -\frac{S_{Q_3}- \frac{3\sum f_i}{4}}{f_{Q_3}} \cdot d_{Q_3}
\end{aligned}
\]
（示例）较小制分位数计算：上限插值公式(案例数据)
案例说明：根据前述工人日产量案例，假如只给出较小累计频次（见下表）。请分别计算精确的两个分位数值。
较小制累计频次表
| G1 |
60Kg以下 | |
0 | |
10 | |
| G2 |
60-70Kg |
19 |
29 |
| G3 |
70-80Kg |
50 |
79 |
| G4 |
80-90Kg |
36 |
115 |
| G5 |
90-100Kg |
27 |
142 |
| G6 |
100-110Kg |
14 |
156 |
| G7 |
110Kg以上 | |
8 | |
164 | |
| Total |
- |
164 |
NA |
（示例）较小制分位数计算：上限插值公式(计算过程)
\[
\begin{aligned}
Q_{1L}=X_{\mathrm{Q}_{1} U} - \frac{S_{Q_{1}}-\frac{\sum f_i}{4}}{f_{Q_1}} \cdot d_{Q_1} =80-\frac{79-\frac{164}{4}}{50} \times 10=72.4
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
Q_{3U}=X_{\mathrm{Q}_{3}U} -\frac{S_{Q_3}- \frac{3\sum f_i}{4}}{f_{Q_3}} \cdot d_{Q_3}=100-\frac{142-\frac{3 \times 164}{4}}{27} \times 10=92.96
\end{aligned}
\]
含义：两个分位数之差，即为四分位差（QD）： \(\mathbf{QD} =Q_{3}-Q_{1} =92.96-72.4 =20.56\) 。这表明：有一半工人的日产量分布在72.4 \(\sim\) 92.96之间，他们的最大差异为20.56Kg。
（演示）分位数计算：较大制下限插值公式(定义)
- \(Q_{j}\) 表示四分位数，其中 \(j \in 1,3\) 。 \(X_{Q_jL}\) 表示组下限（Lower limits）； \(X_{Q_jU}\) 表示组上限（Upper limits）。 \(d_{Q_j}\) 表示分位数组的组距（width）； \(x_j\) 表示待求解的组距部分。
- \(f_{i}\) 表示各组所对应的频次，其中 \(i \in 1,2,\cdots,5\) 。 \(f_{Q_j}\) 表示分位数组的频次 \(p_j\) 表示1/4或3/4分割位置，其中： \(p_1=\frac{\sum{f_i}}{4}\) ， \(p_3=\frac{3\sum{f_i}}{4}\) 。
- \(S_{Q_j}\) 表示相应分位数所在组的较大累计频次； \(y_j\) 表示与 \(x_j\) 宽度相对应频次。
（演示）分位数计算：较大制下限插值公式(Q1)
\[
\begin{aligned}
\frac{x_1}{d_{Q_1}} = \frac{y_1}{f_{Q_1}}
=\frac{S_{Q_1} - p_3}{f_{Q_1}}
\quad \Rightarrow \quad
Q_{1L}=X_{\mathrm{Q}_{1} L}+\frac{S_{Q_1}- \frac{3\sum f_i}{4}}{f_{Q_1}} \cdot d_{Q_1}
\end{aligned}
\]
（演示）分位数计算：较大制下限插值公式(Q3)
四分之三位数的较大制下限插值公式：
\[
\begin{aligned}
\frac{x_3}{d_{Q_3}} = \frac{y_3}{f_{Q_3}}
=\frac{S_{Q_3}- p_1}{f_{Q_3}}
\quad \Rightarrow \quad
Q_{3L}=X_{\mathrm{Q}_{3} L}+\frac{S_{Q_3} -\frac{\sum f_i}{4}}{f_{Q_3}} \cdot d_{Q_3}
\end{aligned}
\]
（示例）较大制分位数计算：粗略结果
较大制累计频次表
| G1 |
60Kg以下 | |
0 | |
164 | |
| G2 |
60-70Kg |
19 |
154 |
| G3 |
70-80Kg |
50 |
135 |
| G4 |
80-90Kg |
36 |
85 |
| G5 |
90-100Kg |
27 |
49 |
| G6 |
100-110Kg |
14 |
22 |
| G7 |
110Kg以上 | |
8 | |
8 | |
| Total |
- |
164 |
NA |
解题思路：
首先计算并得到较大制累计频次表（cumsum）（见左）。
然后计算分位数分割位置： \(p_1= \frac{3\sum{f_i}}{4}=\frac{3\times 164}{4}=123\) ， \(p_3= \frac{\sum{f_i}}{4}=\frac{164}{4}=41\) 。
对照分位数的位置 \(p_j\) 和较大累计频数，初步得到分位数： \(Q_1 =\) “70-80Kg”（G3组）； \(Q_3 =\) “90-100Kg”（G5组）。
（示例）较大制分位数计算：下限插值公式
较大制累计频次表
| G1 |
60Kg以下 | |
0 | |
164 | |
| G2 |
60-70Kg |
19 |
154 |
| G3 |
70-80Kg |
50 |
135 |
| G4 |
80-90Kg |
36 |
85 |
| G5 |
90-100Kg |
27 |
49 |
| G6 |
100-110Kg |
14 |
22 |
| G7 |
110Kg以上 | |
8 | |
8 | |
| Total |
- |
164 |
NA |
\[
\begin{aligned}
Q_{1L}
&=X_{\mathrm{Q}_{1} L}+\frac{S_{Q_1}-\frac{3\sum f_i}{4}}{f_{Q_1}} \cdot d_{Q_1} \\
&= 70+\frac{135-3\times \frac{164}{4}}{50} \times 10=72.4
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
Q_{3L}
&=X_{\mathrm{Q}_{3} L}+\frac{S_{Q_3} - \frac{\sum f_i}{4}}{f_{Q_3}} \cdot d_{Q_3} \\
&=90+\frac{49- \frac{164}{4}}{27} \times 10=92.96
\end{aligned}
\]
（演示）分位数计算：较大制上限插值公式(定义)
- \(Q_{j}\) 表示四分位数，其中 \(j \in 1,3\) 。 \(X_{Q_jL}\) 表示组下限（Lower limits）； \(X_{Q_jU}\) 表示组上限（Upper limits）。 \(d_{Q_j}\) 表示分位数组的组距（width）； \(x_j\) 表示待求解的组距部分。
- \(f_{i}\) 表示各组所对应的频次，其中 \(i \in 1,2,\cdots,5\) 。 \(f_{Q_j}\) 表示分位数组的频次。 \(p_j\) 表示1/4或3/4分割位置，其中： \(p_1=\frac{\sum{f_i}}{4}\) ， \(p_3=\frac{3\sum{f_i}}{4}\) 。
- \(S_{Q_j+1}\) 表示相应分位数所在组的下一组的较大累计频次； \(y_j\) 表示与 \(x_j\) 宽度相对应频次。
（演示）分位数计算：较大制上限插值公式(Q1)
四分之一位数的较大制上限插值公式：
\[
\begin{aligned}
\frac{x_1}{d_{Q_1}} = \frac{y_1}{f_{Q_1}}
=\frac{p_3-S_{Q_1}}{f_{Q_1}}
\quad \Rightarrow \quad
Q_{1U}=X_{\mathrm{Q}_{1} U} - \frac{\frac{3\sum f_i}{4} - S_{Q_{1}+1}}{f_{Q_1}} \cdot d_{Q_1}
\end{aligned}
\]
（演示）分位数计算：较大制上限插值公式(Q3)
四分之三位数的较大制上限插值公式：
\[
\begin{aligned}
\frac{x_3}{d_{Q_3}} = \frac{y_3}{f_{Q_3}}
=\frac{p_1- S_{Q_3+1}}{f_{Q_3}}
\quad \Rightarrow \quad
Q_{3U}=X_{\mathrm{Q}_{3}U} -\frac{\frac{\sum f_i}{4} -S_{Q_3+1}}{f_{Q_3}} \cdot d_{Q_3}
\end{aligned}
\]
（示例）较大制分位数计算：上限插值公式
较大制累计频次表
| G1 |
60Kg以下 | |
0 | |
164 | |
| G2 |
60-70Kg |
19 |
154 |
| G3 |
70-80Kg |
50 |
135 |
| G4 |
80-90Kg |
36 |
85 |
| G5 |
90-100Kg |
27 |
49 |
| G6 |
100-110Kg |
14 |
22 |
| G7 |
110Kg以上 | |
8 | |
8 | |
| Total |
- |
164 |
NA |
\[
\begin{aligned}
Q_{1U}
&=X_{\mathrm{Q}_{1} U} - \frac{\frac{3\sum f_i}{4} - S_{Q_{1}+1}}{f_{Q_1}} \cdot d_{Q_1} \\
&=80-\frac{\frac{3 \times 164}{4}-85}{50} \times 10=72.4
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
Q_{3U}
&=X_{\mathrm{Q}_{3}U} -\frac{\frac{\sum f_i}{4} -S_{Q_3+1}}{f_{Q_3}} \cdot d_{Q_3} \\
&=100-\frac{\frac{164}{4}-22}{27} \times 10=92.96
\end{aligned}
\]
含义：两个分位数之差，即为四分位差（QD）： \(\mathbf{QD} =Q_{3}-Q_{1} =92.96-72.4 =20.56\) 。这表明：有一半工人的日产量分布在72.4 \(\sim\) 92.96之间，他们的最大差异为20.56Kg。
平均数：概念与定义
平均数：是对数据的中心的一种数值化测量指标。
算术平均数：概念
设样本量为 \(n\) 的样本数据来自于一个总体（总体数据量为 \(N\) ）。
数据来源：
样本数据： \(X_1 ,X_2 , \cdots, X_n\)
总体数据： \(X_1 ,X_2 , \cdots, X_n, \cdots, X_N\)
公式定义：
\[
\bar{X}=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}
\]
\[
\mu=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{N}}{N}=\frac{\sum_{i=1}^{N} X_{i}}{N}
\]
算数平均数：基本公式
样本算术平均数具体包括两类：
简单算数平均数: \(\bar{X}=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}\)
加权算数平均数:
若给出频次（次数） \(f_i\) 数据：\(\bar{X}=\frac{\sum_1^n{(f_iX_i)}}{\sum_1^n{f_i}}\)
若给出频率（比重） \(w_i = \frac{f_i }{\sum_1^n{f_i}}\) 数据：\(\bar{X}=\sum_1^n{\left(X_i \cdot \left(\frac{f_i }{\sum_1^n{f_i}}\right)\right)}\)
简单算术平均数的计算
适合情形：未分组资料
计算规则：将各总体单位的标志值简单相加，除以总体单位数所求得的结果。
计算公式：
\[
\bar{X}=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}
\]
计算示例：某单位有8名职工，周工资分别为1200元、1400元、1500元、1600元、1650元、1700元、1750元和1800元，则8名职工平均工资为：
\[
\begin{aligned}
\bar{X} &=\frac{\sum X}{n}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots \ldots+X_{n}}{n} \\
&=\frac{1200+1400+1500+1600+1650+1700+1750+1800}{8} \\
&=1575(\text { 元 })
\end{aligned}
\]
加权算术平均数：计算概述
适合情形：分组数据且各组次数不完全相同。
计算规则：各组变量值（组中值）乘以各组权数求出标志总量，再将各组权数相加求出总体单位数，二者相除计算出的结果。
一般公式：
\[
\begin{aligned}
\bar{X}=\frac{X_{1} f_{1}+X_{2} f_{2}+\ldots \ldots+X_{k} f_{k}}{f_{1}+f_{2}+\ldots \ldots+f_{k}}=\frac{\sum_{i=1}^{k} X_{i} f_{i}}{\sum_{i=1}^{k} f_{i}}=\frac{\sum X f}{\sum f}
\end{aligned}
\]
加权算术平均数：计算类型
计算类型：
计算要点： - 变量值（ \(X_i\) ）：单项式分组为组标志值；组距式分组为组中值。
- 权数（ \(f_i\) ）：具有权衡轻重的作用。权重既可以是频数（绝对数），也可以是频率（相对数）。
如果是频次（次数） \(f_i\) 数据：
\[
\bar{X}=\frac{\sum_1^n{(f_iX_i)}}{\sum_1^n{f_i}}
\]
如果是频率（比重） \(w_i = \frac{f_i }{\sum_1^n{f_i}}\) ：
\[
\bar{X}=\sum_1^n{\left(X_i \cdot \left(\frac{f_i }{\sum_1^n{f_i}}\right)\right)}
\]
（示例）加权平均数计算：单项式数列
案例说明：某工厂共有105个工人，全体工人的日产量（ \(X\) ，件/日）经过分组统计后（ \(G1 \sim G6\) ），各组工人人数（ \(n\) ）的数据如下表所示。请计算全体工人的平均日产量是多少？
| G1 |
5 |
8 |
| G2 |
6 |
12 |
| G3 |
7 |
19 |
| G4 |
8 |
35 |
| G5 |
9 |
25 |
| G6 |
10 |
6 |
| Total |
45 |
105 |
（示例）加权平均数计算：单项式数列
| G1 |
5 |
8 |
40 |
| G2 |
6 |
12 |
72 |
| G3 |
7 |
19 |
133 |
| G4 |
8 |
35 |
280 |
| G5 |
9 |
25 |
225 |
| G6 |
10 |
6 |
60 |
| Total |
45 |
105 |
810 |
\[
\begin{aligned}
\bar{X}=\frac{X_{1} f_{1}+X_{2} f_{2}+\ldots \ldots+X_{k} f_{k}}{f_{1}+f_{2}+\ldots \ldots+f_{k}}=\frac{810}{105}=7.71(件/人)
\end{aligned}
\]
（示例）加权平均数计算：组距式数列
案例说明：某工厂共有164个工人，全体工人日产量（X）经过分组统计后（ \(G1 \sim G7\) ），各组工人人数（f）分布数据如下所示。请计算全体工人的平均日产量是多少千克？
| G1 |
60Kg以下 | |
0 | |
| G2 |
60-70Kg |
19 |
| G3 |
70-80Kg |
50 |
| G4 |
80-90Kg |
36 |
| G5 |
90-100Kg |
27 |
| G6 |
100-110Kg |
14 |
| G7 |
110Kg以上 | |
8 | |
| Total |
- |
164 |
（示例）加权平均数计算：组距式数列（频次）
解答过程：
\[
\begin{aligned}
\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i \cdot f_i)}{\sum_{i=1}^n f_i}=\frac{13550}{164}=82.62(\text { 千克 })
\end{aligned}
\]
| G1 |
60Kg以下 | |
5 | |
0 | |
550 | |
| G2 |
60-70Kg |
65 |
19 |
1235 |
| G3 |
70-80Kg |
75 |
50 |
3750 |
| G4 |
80-90Kg |
85 |
36 |
3060 |
| G5 |
90-100Kg |
95 |
27 |
2565 |
| G6 |
100-110Kg |
105 |
14 |
1470 |
| G7 |
110Kg以上 | |
15 | |
8 | |
920 | |
| Total |
- |
595 |
164 |
13550 |
（示例）加权平均数计算：组距式数列（频率）
解答过程：
\[
\begin{aligned}
\bar{X}&=\sum_{i=1}^n{(X_i\cdot w_i)} \\
&=\sum_{i=1}^n{\left( X_i \cdot \frac{f_i}{\sum{f_i}}\right)} \\
&=82.62(\text { 千克 })
\end{aligned}
\]
| G1 |
60Kg以下 | |
5 | |
0 | |
.06 | |
.35 | |
| G2 |
60-70Kg |
65 |
19 |
0.12 |
7.53 |
| G3 |
70-80Kg |
75 |
50 |
0.30 |
22.87 |
| G4 |
80-90Kg |
85 |
36 |
0.22 |
18.66 |
| G5 |
90-100Kg |
95 |
27 |
0.16 |
15.64 |
| G6 |
100-110Kg |
105 |
14 |
0.09 |
8.96 |
| G7 |
110Kg以上 | |
15 | |
8 | |
.05 | |
.61 | |
| Total |
- |
595 |
164 |
1.00 |
82.62 |
算数平均数：总结1
算数平均数 \(\bar{X}\) 的几条性质：
算数平均数：总结2
简单算数平均数： \(\sum{X_i-\bar{X}} = 0\)
加权算数平均数： \(\sum{\left[(X_i-\bar{X})f_i \right]} = 0\)
简单算数平均数： \(\sum{(X_i-\bar{X})^2} = min\)
加权算数平均数： \(\sum{\left[ (X_i-\bar{X})^2 f_i \right]} = 0\)
（示例）算数平均数：未整理数据 VS 分组整理数据
案例数据：某企业的工会随机调查了50名工人2020年6月加班的小时数，原始数据（左下）和整理数据（右下）结果分别如下：
W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W13 W14 W15 W16 W17 W18 W19 W20
12 14 23 15 16 24 17 9 12 13 21 17 17 16 12 24 17 5 19 13
W21 W22 W23 W24 W25 W26 W27 W28 W29 W30 W31 W32 W33 W34 W35 W36 W37 W38 W39 W40
10 14 10 11 12 7 19 16 9 21 17 14 19 19 19 18 18 15 13 13
W41 W42 W43 W44 W45 W46 W47 W48 W49 W50
12 14 9 26 21 9 13 13 19 15
\[
\bar{X} = \frac{\sum{X_i}}{n}=15.22
\]
| 「 5,10」 | |
.5 | |
| |
0.0 | |
| (10,15」 | |
12.5 | |
19 | |
237.5 | |
| (15,20」 | |
17.5 | |
16 | |
280.0 | |
| (20,25」 | |
22.5 | |
6 | |
135.0 | |
| (25,30」 | |
27.5 | |
1 | |
27.5 | |
| Total |
87.5 |
50 |
740.0 |
\[
\bar{X} = \frac{\sum{(X_i}\cdot f_i)}{\sum{f_i}}=14.8
\]
调和平均数：概念和形式
调和平均数：以变量值的倒数为基础计算的平均数，即标志值的倒数的平均数的倒数，亦称倒数平均数，一般记为 \(\bar{X}_H\) 。
表现形式：
逆向指标的算数平均指标的倒数形式。
算术平均指标的变形形式。
调和平均数：计算公式
调和平均数的理论计算公式为：
\[
\begin{aligned}
\bar{X}=\frac{\sum{(X_i f_i)}}{\sum{f_i}}=\frac{\sum{(X_i f_i)}}{\sum \left[\frac{(X_i f_i)}{X_i} \right]} =\frac{\sum{m_i}} {\sum \frac{m_i}{X_i}}=\bar{X}_{H}
\end{aligned}
\]
其中：
\(m_i=X_i \cdot f_i, f_i=\frac{m_i}{X_i}\) 。
\(m_i\) 是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次数，而是各组标志值总量（注意不是“总体标志总量”！！！）。
（示例）调和平均数的应用场景
案例说明：设有一种蔬菜，早、中、晚的价格分别为每千克0.5元、0.2元和0.1元。第一个人早、中、晚各买1千克的菜，第二个人早、中、晚各买1元钱的菜。比较两人所卖菜的平均价格。
\[
\begin{aligned}
\text { 平均份格 }=\frac{\text { 购买额 }}{\text { 购买量 }}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\bar{X}=\frac{0.5+0.2+0.1}{1+1+1}=0.267(\text { 元 })
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\bar{X_H}=\frac{1+1+1}{1 / 0.5+1 / 0.2+1 / 0.1}=\frac{3}{17}=0.18(\text { 元 })
\end{aligned}
\]
（示例）简单调和平均数的计算：未分组数据（正向指标情形）
示例计算1（正向指标情形）：某车间5位工人的劳动生产率（件/小时）资料如下，请分别计算全部工人的平均劳动生产率是多少？
W1 W2 W3 W4 W5
10 12 15 20 30
- 计算分析：因为是正向指标，可以直接使用简单算数平均数计算得到。
\[
\begin{aligned}
\bar{X} =\frac{\sum X_i}{n}
=\frac{10+12+15+20+30}{5}
=\frac{87}{5}=17.4 \text { 件 / 小时 }
\end{aligned}
\]
（示例）简单调和平均数的计算：未分组数据（逆向指标情形）
示例计算2（逆向指标指标情形）：某车间5位工人的劳动生产率（分钟/件）资料如下，请分别计算全部工人的平均劳动生产率是多少？
- 计算分析：因为是逆向指标，应使用简单调和平均数计算得到。
\[
\begin{aligned}
\bar{X}_{H} =\frac{1}{\frac{\sum 1 / X_i}{n}}
=\frac{1}{(1/ 6+1 / 5+1 / 4+1 / 3+1 / 2) / 5}
=\frac{1}{1.45 / 5}=\frac{1}{0.29}=3.45 \text { 分钟 } / 件
\end{aligned}
\]
（示例）加权调和平均数的计算：分组数据A
案例说明：某公司有四个企业，工作完成程度（ratio_do，%）及计划产值（value_plan）如下，请计算全部四个企业的平均工作完成程度？
| 甲 | |
90 | |
100 | |
90 | |
| 乙 | |
100 | |
200 | |
200 | |
| 丙 | |
110 | |
300 | |
330 | |
| 丁 | |
120 | |
400 | |
480 | |
| Total |
NA |
1000 |
1100 |
分析过程：此题可以直接使用加权算术平均数公式计算。其中：工作完成程度（ratio_do）为正指标 \(X_i\) ，计划产值（Value_plan）为权重 \(f_i\) 。
\[
\begin{aligned}
\bar{X}=\frac{\sum {(X_i f_i)}}{\sum {f_i}}=\frac{1100}{1000} \times 100\%=110 \%
\end{aligned}
\]
（示例）加权调和平均数的计算：分组数据B
案例说明：某公司有四个企业，工作完成程度（ratio_do，%）及实际产值（value_do）如下，请计算全部四个企业的平均工作完成程度？
| 甲 | |
90 | |
90 | |
1.1111111 | |
100 | |
| 乙 | |
100 | |
200 | |
1.0000000 | |
200 | |
| 丙 | |
110 | |
330 | |
0.9090909 | |
300 | |
| 丁 | |
120 | |
480 | |
0.8333333 | |
400 | |
| Total |
NA |
1100 |
NA |
1000 |
分析过程：此题需要使用加权调和平均数公式计算。其中：工作完成程度（ratio_do）为正指标 \(X_i\) ，实际产值（Value_do）为特殊权重 \(m_i\) 。
\[
\begin{aligned}
\bar{X}==\frac{\sum m_i}{\sum \left(\frac{1}{X_i} m_i \right)}=\frac{1100}{1000} \times 100 \%=110 \%
\end{aligned}
\]
几何平均数：概念与类型
几何平均数（Geometric Mean）：对 \(n\) 个变量值连乘之积开 \(n\) 次方根，主要用于计算平均速度和平均比率。
一般公式：
\[
\bar{X_G} = \sqrt[n]{X_1 \cdot X_2 \cdots X_n} = \sqrt[n]{{\prod_{i=1}^n{X_i}}}
\]
适合条件：变量值为相乘关系
计算类型：
简单几何平均数的计算
（方法1）直接开根号：
\[
\bar{X_G} = \sqrt[n]{X_1 \cdot X_2 \cdots X_n} = \sqrt[n]{{\prod_{i=1}^n{X_i}}}
\]
（方法2）利用反对数求解：
\[
\begin{aligned}
\bar{X_G} &= \left(\prod_{i=1}^n{X_i} \right)^{\frac{1}{n}} \\
log(\bar{X_G}) &= \frac{1}{n} \cdot log\left(\prod_{i=1}^n{X_i}\right)
= \frac{1}{n} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(log{X_i} \right)} \\
\bar{X_G} &= arclog\left(\frac{1}{n} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(log{X_i} \right)} \right)
= 10^{\left(\frac{1}{n} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(log{X_i} \right)} \right)}
\end{aligned}
\]
（示例）简单几何平均数的计算
案例说明：某地区工业产品产量在2013-2018年间的产量（output，亿吨）和逐年发展速度*（speed，%）。求该地区五年间的平均发展速度是多少？
| 2013 |
9.80 |
NA |
| 2014 |
10.54 |
107.5510 |
| 2015 |
10.80 |
102.4668 |
| 2016 |
10.87 |
100.6481 |
| 2017 |
11.16 |
102.6679 |
| 2018 |
11.41 |
102.2401 |
| Total |
64.58 |
NA |
（示例）简单几何平均数的计算
| 2013 |
9.80 |
NA |
NA |
| 2014 |
10.54 |
107.5510 |
2.0316 |
| 2015 |
10.80 |
102.4668 |
2.0106 |
| 2016 |
10.87 |
100.6481 |
2.0028 |
| 2017 |
11.16 |
102.6679 |
2.0114 |
| 2018 |
11.41 |
102.2401 |
2.0096 |
| Total |
64.58 |
NA |
10.0661 |
\[
\begin{aligned}
\bar{X_G} &= \sqrt[n]{{\prod_{i=1}^n{X_i}}}\\
& =\sqrt[n]{1.1643} \\
& = 103.0889
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\bar{X_G}
&= arclog\left(\frac{1}{n} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(log{X_i} \right)} \right) \\
& = 10^{\left(\frac{1}{n} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(log{X_i} \right)} \right)} = 10^{\left( \frac{1}{5}\cdot 10.0661 \right) } \\
& = 103.0889
\end{aligned}
\]
加权几何平均数的计算
（方法1）直接开根号：
\[
\bar{X_G} = \sqrt[(f_1+f_2+\cdots +f_n)]{X_1^{f_1} \cdot X_2^{f_2} \cdots X_n^{f_n}} = \sqrt[\sum_{i=1}^n{f_i}]{{\prod_{i=1}^n{\left( X_i^{f_i}\right)}}}
\]
（方法2）利用反对数求解：
\[
\begin{aligned}
\bar{X_G} &= \sqrt[\sum{f_i}]{\prod_{i=1}^n{\left( X_i^{f_i}\right)}} \\
log(\bar{X_G} ) &= \frac{1}{\sum{f_i}} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(log{X_i^{f_i}} \right)}
= \frac{1}{\sum{f_i}} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(f_i \cdot logX_i\right)}\\
\bar{X_G} &= arclog \left(\frac{1}{\sum{f_i}} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(f_i \cdot logX_i\right)} \right)
= 10^{\left(\frac{1}{\sum{f_i}} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(f_i \cdot logX_i\right)} \right) }
\end{aligned}
\]
（示例）加权几何平均数的计算
案例说明：某投资银行公布了最近25年间（ \(n=25\) ）银行年利率的逐年发展速度分组*（speed）和每个分组利率的年数（years）。求该地区25年间的平均发展速度是多少？
| 1.03 |
1 |
| 1.05 |
4 |
| 1.08 |
8 |
| 1.1 |
10 |
| 1.15 |
2 |
| Total |
25 |
（示例）简单几何平均数的计算
| 1.03 |
1 |
1.0300 |
0.0128 |
0.0128 |
| 1.05 |
4 |
1.2155 |
0.0212 |
0.0848 |
| 1.08 |
8 |
1.8509 |
0.0334 |
0.2674 |
| 1.1 |
10 |
2.5937 |
0.0414 |
0.4139 |
| 1.15 |
2 |
1.3225 |
0.0607 |
0.1214 |
| Total |
25 |
NA |
NA |
0.9003 |
\[
\begin{aligned}
\overline{X_{\mathrm{g}}}&
= \sqrt[\sum_{i=1}^n{f_i}]{{\prod_{i=1}^n{\left( X_i^{f_i}\right)}}}\\
&=\sqrt[25]{1.03^{1 *} 1.05^{4} * 1.08^{8} * 1.10^{10 *}+1.15^{2}}\\
&=\sqrt[25]{7.9489}=1.0865
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\overline{X_G} &= arclog \left(\frac{1}{\sum{f_i}} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(f_i \cdot logX_i\right)} \right) \\
&= 10^{\left(\frac{1}{\sum{f_i}} \cdot \sum_{i =1} ^n{\left(f_i \cdot logX_i\right)} \right) } \\
& = 10^{\left( \frac{1}{25}\cdot 0.9003 \right) } = 1.0865
\end{aligned}
\]
几何平均数：总结
几何平均数 \(\bar{X_G}\) 适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总标志值是各单位标志值的连乘积。
如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法计算几何平均数 \(\bar{X_G}\) 。
受极端值的影响较算数平均数 \(\bar{X}\) 和调和平均数 \(\bar{X_H}\) 小。
平均数：总结1
位置平均数和数值平均数的图形关系：
平均数：总结2
\[
\begin{aligned}
\left|\bar{X}-M_{0}\right|=3\left|\bar{X}-M_{e}\right|
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
M_{0} =3 M_{e}-2 \bar{X};
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\bar{X}=\frac{1}{2}\left(3 M_{e}-M_{o}\right);
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
M_{e}=\frac{1}{3}\left(M_{o}+2 \bar{X}\right)
\end{aligned}
\]
离散趋势概述：概念内涵
离散趋势的具体内涵有：
是数据分布的一个重要特征
反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）
从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度
不同类型的数据有不同的离散程度测度值
异众比率：概念和特征
异众比率（variation ratio）：是对分类数据离散程度的测度，具体表现为非众数组的频数占总频数的比例，一般记为 \(V_r\) 。
异众比率的特征：用于衡量众数的代表性
计算公式：
\[
\begin{aligned}
V_{r}=\frac{\sum f_{i}-f_{m}}{\sum f_{i}}=1-\frac{f_{m}}{\sum f_{i}}
\end{aligned}
\]
（示例）异众比率的计算
案例数据：不同品牌饮料的频数分布如下，请计算该数据集的异众比率是多少
解题分析：
\[
\begin{aligned}
V_{r}
&=\frac{\sum f_{i}-f_{m}}{\sum f_{i}}
=1-\frac{f_{m}}{\sum f_{i}} \\
& =\frac{50-15}{50}=1-\frac{15}{50} \\
&=0.7=70 \%
\end{aligned}
\]
- 在所调查的50人当中，购买碳酸饮料以外的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“碳酸饮料”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好。
四分位差：概念和特征
四分位差（quartile deviation）：主要用于对顺序尺度/比率尺度数据离散程度的测度，也称为内距或四分间距，它是上四分位数（四分之三位数）与下四分位数（四分之一位数）之差，一般记为 \(Q_d\) ：
\[
Q_d = Q_3 – Q_1
\]
四分位差的特征：
反映了中间50%数据的离散程度
不受极端值的影响
用于衡量中位数的代表性
（示例）四分位差的计算：原始未整理数据
案例数据：某电脑销售公司在4个月120天（ \(n=120\) ）的电脑销售台数的数据记录如下，请计算该数据集的四分位差是多少？
[1] 234 143 187 161 150 228 153 166 154 174 156 203 159 198 160 152 161 162
[19] 163 196 164 226 165 165 187 141 214 149 178 223 218 179 215 180 175 196
[37] 155 167 168 211 168 170 180 171 233 172 210 172 172 194 173 196 174 165
[55] 175 233 175 190 207 176 183 225 178 234 153 179 144 179 188 172 181 182
[73] 182 177 184 185 186 186 178 187 237 187 205 188 177 189 209 189 190 175
[91] 191 173 194 189 195 195 163 196 176 196 160 197 197 174 198 200 201 202
[109] 158 203 188 206 171 208 192 210 168 211 172 213
解题步骤：
计算数据集的四分之一位数： \(Q_1 = 170.75\) 。
计算数据集的四分之三位数： \(Q_3 = 197\) 。
最后计算得到四分位差： \(Q_d = Q_3- Q_1 =26.25\)
（示例）四分位差的计算：单项式数列
案例数据：甲城市家庭对住房状况评价的频数分布如下，请计算该数据集的四分位差是多少？
甲城市住房满意度评价统计表
| 1 |
非常不满意 | 24 |
| 2 |
| |
| 2 |
不满意 | 1 |
8 | |
32 | |
| 3 |
一般 | |
3 | |
225 | |
| 4 |
满意 | |
5 | |
270 | |
| 5 |
非常满意 | 30 |
| 3 |
0 | |
| NA |
Total |
300 |
NA |
解题分析：设非常不满意为1，不满意为2，一般为3，满意为4， 非常满意为5。 已知： \(Q_1 = 不满意 = 2\) ； \(Q_3 = 一般 = 3\) 。则四分位差为：
\[
Q_d = Q_3 - Q_1= 3 – 2 = 1
\]
极差：概念和特征
极差（range）：是一组数据的最大值与最小值之差，一般记为 \(R\) ，计算公式为：
\[
R = Max(X_i) - Min(X_i)
\]
极差的特征：
离散程度的最简单测度值
易受极端值影响
未考虑数据的分布
（示例）极差的计算：未整理原始数据
案例数据：某电脑销售公司在4个月120天（ \(n=120\) ）的电脑销售台数的数据记录如下，请计算该数据集的极差是多少？
[1] 234 143 187 161 150 228 153 166 154 174 156 203 159 198 160 152 161 162
[19] 163 196 164 226 165 165 187 141 214 149 178 223 218 179 215 180 175 196
[37] 155 167 168 211 168 170 180 171 233 172 210 172 172 194 173 196 174 165
[55] 175 233 175 190 207 176 183 225 178 234 153 179 144 179 188 172 181 182
[73] 182 177 184 185 186 186 178 187 237 187 205 188 177 189 209 189 190 175
[91] 191 173 194 189 195 195 163 196 176 196 160 197 197 174 198 200 201 202
[109] 158 203 188 206 171 208 192 210 168 211 172 213
解题步骤：
[1] 141 143 144 149 150 152 153 153 154 155 156 158 159 160 160 161 161 162
[19] 163 163 164 165 165 165 166 167 168 168 168 170 171 171 172 172 172 172
[37] 172 173 173 174 174 174 175 175 175 175 176 176 177 177 178 178 178 179
[55] 179 179 180 180 181 182 182 183 184 185 186 186 187 187 187 187 188 188
[73] 188 189 189 189 190 190 191 192 194 194 195 195 196 196 196 196 196 197
[91] 197 198 198 200 201 202 203 203 205 206 207 208 209 210 210 211 211 213
[109] 214 215 218 223 225 226 228 233 233 234 234 237
\[
R = Max(X_i)- Min(X_i) =237 - 141 = 96
\]
平均差：概念和特征
平均差（mean deviation）：是各变量值与其平均数离差绝对值的平均数，一般记为 \(M_d\) 。计算公式根据数据情况分为：
\[
\begin{aligned}
M_{\mathrm{d}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left|X_{i}-\bar{X}\right|}{n}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
M_{\mathrm{d}}=\frac{\sum_{i=1}^{k}\left(\left|M_{i}-\bar{X}\right| f_{i}\right)}{\sum{f_i}}
\end{aligned}
\]
平均差的特征：
能全面反映一组数据的离散程度。
数学性质较差，实际中应用较少。
（示例）平均差的计算：原始未整理数据1
案例数据：某电脑销售公司在4个月120天（ \(n=120\) ）的电脑销售台数的数据记录如下，请计算该数据集的四分位差是多少？
[1] 234 143 187 161 150 228 153 166 154 174 156 203 159 198 160 152 161 162
[19] 163 196 164 226 165 165 187 141 214 149 178 223 218 179 215 180 175 196
[37] 155 167 168 211 168 170 180 171 233 172 210 172 172 194 173 196 174 165
[55] 175 233 175 190 207 176 183 225 178 234 153 179 144 179 188 172 181 182
[73] 182 177 184 185 186 186 178 187 237 187 205 188 177 189 209 189 190 175
[91] 191 173 194 189 195 195 163 196 176 196 160 197 197 174 198 200 201 202
[109] 158 203 188 206 171 208 192 210 168 211 172 213
（示例）平均差的计算：原始未整理数据2
解题步骤：
\[
\begin{aligned}
M_{\mathrm{d}}
&=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left|X_{i}-\bar{X}\right|}{n} \\
&=\frac{2091.4}{120} =17.4283333
\end{aligned}
\]
[1] 49.43 41.57 2.43 23.57 34.57 43.43 31.57 18.57 30.57 10.57 28.57 18.43
[13] 25.57 13.43 24.57 32.57 23.57 22.57 21.57 11.43 20.57 41.43 19.57 19.57
[25] 2.43 43.57 29.43 35.57 6.57 38.43 33.43 5.57 30.43 4.57 9.57 11.43
[37] 29.57 17.57 16.57 26.43 16.57 14.57 4.57 13.57 48.43 12.57 25.43 12.57
[49] 12.57 9.43 11.57 11.43 10.57 19.57 9.57 48.43 9.57 5.43 22.43 8.57
[61] 1.57 40.43 6.57 49.43 31.57 5.57 40.57 5.57 3.43 12.57 3.57 2.57
[73] 2.57 7.57 0.57 0.43 1.43 1.43 6.57 2.43 52.43 2.43 20.43 3.43
[85] 7.57 4.43 24.43 4.43 5.43 9.57 6.43 11.57 9.43 4.43 10.43 10.43
[97] 21.57 11.43 8.57 11.43 24.57 12.43 12.43 10.57 13.43 15.43 16.43 17.43
[109] 26.57 18.43 3.43 21.43 13.57 23.43 7.43 25.43 16.57 26.43 12.57 28.43
（示例）平均差的计算：组距分组数据1
案例数据：A同学将某电脑销售公司在4个月120天（ \(n=120\) ）的电脑销售台数的原始数据，并进行如下的组距式分组统计。其中f表示落在各组的天数。请计算该数据集的平均差是多少？
| 1 |
[140,150) |
4 |
| 2 |
[150,160) |
9 |
| 3 |
[160,170) |
16 |
| 4 |
[170,180) |
27 |
| 5 |
[180,190) |
20 |
| 6 |
[190,200) |
17 |
| 7 |
[200,210) |
10 |
| 8 |
[210,220) |
8 |
| 9 |
[220,230) |
4 |
| 10 |
[230,240] |
5 |
| Total |
- |
120 |
（示例）平均差的计算：组距分组数据2
解题步骤：具体计算表见下一页ppt。
计算各组组中值M： \(M_i\) ，以及组中值与权重的乘积Mf： \(M_if_i\) 。然后计算得出均值： \(\bar{X}=\frac{\sum{M_if_i}}{\sum{f_i}}=185\) 。 - 计算得到离中心差demean： \(M_i-\bar{X}\) ，及其绝对值abs_demean \(|M_i-\bar{X}|\) 。
计算离中心差与权重的乘积demean_f： \((M_i-\bar{X})f_i\) ，及其绝对值abs_demean_f： \(|(M_i-\bar{X})|f_i\)
最后，利用公式计算加总项，进一步计算得到平均差。
\[
\begin{aligned}
M_{\mathrm{d}} =\frac{\sum_{i=1}^{k}\left(\left|M_{i}-\bar{X}\right| f_{i}\right)}{\sum{f_i}}
= \frac{2040}{120} = 17
\end{aligned}
\]
- 含义：与销售量平均数相比，日销售量之间平均相差17台。
（示例）平均差的计算：组距分组数据3
平均差计算需要用到计算表
| 1 |
[140,150) |
145 |
4 |
580 |
-40 |
40 |
-160 |
160 |
| 2 |
[150,160) |
155 |
9 |
1395 |
-30 |
30 |
-270 |
270 |
| 3 |
[160,170) |
165 |
16 |
2640 |
-20 |
20 |
-320 |
320 |
| 4 |
[170,180) |
175 |
27 |
4725 |
-10 |
10 |
-270 |
270 |
| 5 |
[180,190) |
185 |
20 |
3700 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 6 |
[190,200) |
195 |
17 |
3315 |
10 |
10 |
170 |
170 |
| 7 |
[200,210) |
205 |
10 |
2050 |
20 |
20 |
200 |
200 |
| 8 |
[210,220) |
215 |
8 |
1720 |
30 |
30 |
240 |
240 |
| 9 |
[220,230) |
225 |
4 |
900 |
40 |
40 |
160 |
160 |
| 10 |
[230,240] |
235 |
5 |
1175 |
50 |
50 |
250 |
250 |
| Total |
- |
1900 |
120 |
22200 |
50 |
250 |
0 |
2040 |
方差和标准差：概念和特征
方差（variance）和标准差（standard deviation）：是数据离散程度的最常用测度指标，反映了各变量值与均值的平均差异。
\[
\begin{aligned}
S^{2}&=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{n-1} \\
S&=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{n-1}}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
S^{2} &=\frac{\sum_{i=1}^{k}\left(\left(M_{i}-\bar{X}\right)^{2} f_{i}\right)}{n-1} \\
S &=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k}\left(\left(M_{i}-\bar{X}\right)^{2} f_{i} \right)}{n-1}}
\end{aligned}
\]
（示例）计算：原始未整理数据1
案例数据：某电脑销售公司在4个月120天（ \(n=120\) ）的电脑销售台数的数据记录如下，请计算该数据集的样本方差和样本标准差分别是多少？
[1] 234 143 187 161 150 228 153 166 154 174 156 203 159 198 160 152 161 162
[19] 163 196 164 226 165 165 187 141 214 149 178 223 218 179 215 180 175 196
[37] 155 167 168 211 168 170 180 171 233 172 210 172 172 194 173 196 174 165
[55] 175 233 175 190 207 176 183 225 178 234 153 179 144 179 188 172 181 182
[73] 182 177 184 185 186 186 178 187 237 187 205 188 177 189 209 189 190 175
[91] 191 173 194 189 195 195 163 196 176 196 160 197 197 174 198 200 201 202
[109] 158 203 188 206 171 208 192 210 168 211 172 213
（示例）计算：原始未整理数据2
解题步骤：
计算数据集的均值： \(\bar{X} = \frac{\sum{X_i}}{n} = 184.5666667\) 。
计算所有数据的离中心差： \(X_i -\bar{X}\) ，及其平方项 \((X_i -\bar{X})^2\) 。
计算离中心差平方项的求和项 \(\sum_{i=1}^{n}\left((X_{i}-\bar{X})^2\right) = 5.5935467\times 10^{4}\) 。
最后利用公式计算得到样本方差和样本标准差：
\[
\begin{aligned}
S^{2}
&=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{n-1} \\
&= \frac{5.5935467\times 10^{4}}{119}
= 470.0459
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
S
&=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{n-1}} \\
&= \sqrt{\frac{5.5935467\times 10^{4}}{119} }
= 21.6805
\end{aligned}
\]
（示例）计算：组距分组数据1
案例数据：A同学将某电脑销售公司在4个月120天（ \(n=120\) ）的电脑销售台数的原始数据，并进行如下的组距式分组统计。其中f表示各组的天数。请计算该数据集的样本方差和样本标准分别是多少？
| 1 |
[140,150) |
4 |
| 2 |
[150,160) |
9 |
| 3 |
[160,170) |
16 |
| 4 |
[170,180) |
27 |
| 5 |
[180,190) |
20 |
| 6 |
[190,200) |
17 |
| 7 |
[200,210) |
10 |
| 8 |
[210,220) |
8 |
| 9 |
[220,230) |
4 |
| 10 |
[230,240] |
5 |
| Total |
- |
120 |
（示例）计算：组距分组数据2
解题步骤：具体计算表见下一页ppt。
计算各组组中值M： \(M_i\) ，以及组中值与权重的乘积Mf： \(M_if_i\) 。然后计算得出分组数据的均值： \(\bar{X}=\frac{\sum{M_if_i}}{\sum{f_i}}=185\) 。
计算得到离中心差demean： \(M_i-\bar{X}\) ，以及离中心差的平方项power2： \({(X_{i}-\bar{X})}^2f_i\) ，再计算离中心差平方项与权重的乘积power2_f： \((X_{i}-\bar{X})^2f_i\) ，然后得到求和项 \(\sum_{i=1}^{n}\left((M_{i}-\bar{X})^2f_i\right)=5.54\times 10^{4}\) 。
最后利用公式计算得到样本方差和样本标准差：
\[
\begin{aligned}
S^{2}
&=\frac{\sum_{i=1}^{n}{\left(\left(M_{i}-\bar{X}\right)^{2}f_i\right)}}{n-1} \\
&= \frac{5.54\times 10^{4}}{119}
= 465.5462
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
S
&=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{\left(\left(M_{i}-\bar{X}\right)^{2}f_i\right)}}{n-1}} \\
&= \sqrt{\frac{5.54\times 10^{4}}{119} }
= 21.5765
\end{aligned}
\]
（示例）计算：组距分组数据3
方差/标准差计算需要用到计算表
| 1 |
[140,150) |
145 |
4 |
580 |
-40 |
1600 |
6400 |
| 2 |
[150,160) |
155 |
9 |
1395 |
-30 |
900 |
8100 |
| 3 |
[160,170) |
165 |
16 |
2640 |
-20 |
400 |
6400 |
| 4 |
[170,180) |
175 |
27 |
4725 |
-10 |
100 |
2700 |
| 5 |
[180,190) |
185 |
20 |
3700 |
0 |
0 |
0 |
| 6 |
[190,200) |
195 |
17 |
3315 |
10 |
100 |
1700 |
| 7 |
[200,210) |
205 |
10 |
2050 |
20 |
400 |
4000 |
| 8 |
[210,220) |
215 |
8 |
1720 |
30 |
900 |
7200 |
| 9 |
[220,230) |
225 |
4 |
900 |
40 |
1600 |
6400 |
| 10 |
[230,240] |
235 |
5 |
1175 |
50 |
2500 |
12500 |
| Total |
- |
1900 |
120 |
22200 |
50 |
8500 |
55400 |
标准分数
标准分数（standard score）：也称标准化值，记为 \(Z_i\) ，计算公式为：
\[
Z_i=\frac{(X_i-\bar{X})}{S_{X}}
\]
标准分数的特征：
标准化值 \(Z_i\) 只是将原始数据 \(X_i\) 进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是使该组数据均值为0，标准差为1。因此也被称为标准化变换。
变异系数：概念和作用
变异系数（coefficient of variation）：是用相对数表示的变异指标，又称标志变动系数。根据分子的不同，又具体分为：
全距变异系数： \(V_R= \frac{R}{\bar{X}}\)
平均差变异系数： \(V_{AD}= \frac{R}{\bar{X}}\)
标准差变异系数： \(V_{S}= \frac{S}{\bar{X}}\)
变异系数的作用：抽象掉标志值大小及计量单位的影响。
（示例1）计算几类变异系数:案例说明
案例数据：某电脑销售公司在4个月120天（ \(n=120\) ）的电脑销售台数的数据记录如下，请计算该数据集的全距变异系数、平均差变异系数和标准差变异系数分别是多少？
[1] 234 143 187 161 150 228 153 166 154 174 156 203 159 198 160 152 161 162
[19] 163 196 164 226 165 165 187 141 214 149 178 223 218 179 215 180 175 196
[37] 155 167 168 211 168 170 180 171 233 172 210 172 172 194 173 196 174 165
[55] 175 233 175 190 207 176 183 225 178 234 153 179 144 179 188 172 181 182
[73] 182 177 184 185 186 186 178 187 237 187 205 188 177 189 209 189 190 175
[91] 191 173 194 189 195 195 163 196 176 196 160 197 197 174 198 200 201 202
[109] 158 203 188 206 171 208 192 210 168 211 172 213
（示例1）计算几类变异系数:解题分析
根据前面已经得到的相关结算结果：数据集的均值 \(\bar{X} =184.57\) ；全距 \(R=96\) ；平均差 \(AD =17.43\) ；样本标准差 \(S =21.68\) 。
然后，利用公式分别计算得到几类变异系数：
全距变异系数： \(V_R= \frac{R}{\bar{X}}=\frac{96}{184.5666667} =0.5201\)
平均差变异系数： \(V_{AD}= \frac{R}{\bar{X}}=\frac{17.4283333}{184.5666667} =0.0944\)
标准差变异系数： \(V_{S}= \frac{S}{\bar{X}}=\frac{21.6805429}{184.5666667} =0.1175\)
（示例2）计算标准差变异系数:案例说明
案例数据：某工厂有甲、乙两个工人小组，每个小组各有10个工人，两个小组的日产量数据分别如下。请你通过一些计算，比较那个小组的产量更稳定？
[1] 68 68 68 62 61 59 69 85 72 83
[1] 16 15 17 22 12 18 23 20 21 15
（示例2）计算标准差变异系数:解题分析
甲组工人产量均值 \(\bar{X_甲}=\frac{\sum{X_i}}{n}=69.5\) ；产量标准差 \(S_甲=\sqrt{\frac{\sum{(X_i -\bar{X}^2)}}{n-1}}=8.6570459\) 。
乙组工人产量均值 \(\bar{X_乙}=\frac{\sum{X_i}}{n}=17.9\) ；产量标准差 \(S_乙=\sqrt{\frac{\sum{(X_i -\bar{X}^2)}}{n-1}}=3.5418137\) 。
显然，从标准差来看甲组离散程度大于乙组 \(S_甲 > S_乙\) ，但是单纯从标准差大小来断定工人产量稳定性，是不恰当的。因为我们还可以看到，甲组的均值也高于乙组 \(\bar{X}_甲 > \bar{X}_乙\) 。
因此，我们需要进一步计算标准差变异系数指标来加以比较。可以发现，甲组要更优。
\[
V_{S甲}= \frac{S_甲}{\bar{X}_甲}=0.1246 < V_{S乙}= \frac{S乙}{\bar{X}_乙}=0.1979
\]
