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# 计量经济学II
# (Econometrics II)

### 胡华平

### 西北农林科技大学

### 经济管理学院数量经济教研室

### huhuaping01@hotmail.com

### 2026-01-09

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---
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# 模块1：计量经济学基础

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[模块知识总结](#summary)

]

---
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# 模块知识总结

[六重梦境](#six-dreams)

[放宽假设](#relax-assumption)

---
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name: six-dreams

# 六重梦境

[梦境1：世界模型](#world-model)

[梦境2：OLS方法和估计精度](#ols-and-precision)

[梦境3： N-CLRM假定和BLUE性质](#nclrm-and-blue)

[梦境4： 变异分解和拟合优度](#anova)

[梦境5： 假设检验和置信区间](#test)

[梦境6： 均值预测和个值预测](#forecast)

---
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<div class="my-footer"><span>huhuaping@ 
<a href="#chapter-navi">模块01 计量经济学基础 |</a>
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<a href="#summary">模块知识总结 |</a>
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<a href="#six-dreams"> 六重梦境  </a>
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</div>

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## 《盗梦空间》与计量基本框架

**科幻电影《盗梦空间》**讲述了一个关于梦境的故事，影片中主人公通过构造不同层次的梦境，进入他人的梦境，盗取他人的秘密。

**计量经济学基本框架**中，也可以类似地理解：借助样本数据，通过精妙的多重机制设计（OLS、CLRM、N-CLRM、ANOVA、假设检验、置信区间、均值预测、个值预测等），实现对总体规律（总体参数）尽可能精确推断（BLUE）的逻辑闭环。

---
name: world-model

## 梦境1：世界模型

> **模型虽小且简单，但却是“世界模型”！**

.pull-left[
> 总体回归函数PRF:

`$$\begin{align}
E(Y|X_i) &= \beta_1 +\beta_2X_i && \text{(PRF)}
\end{align}$$`

> 总体回归模型PRM:

`$$\begin{align}
Y_i &=  \beta_1 +\beta_2X_i + u_i && \text{(PRM)}
\end{align}$$`

]

.pull-right[
> 样本回归函数SRF:

`$$\begin{align}
\hat{Y}_i =\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2X_i && \text{(SRF)}
\end{align}$$`

>样本回归模型SRM:

`$$\begin{align}
Y_i &= \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2X_i +e_i && \text{(SRM)}
\end{align}$$`

]

---
name: ols-and-precision

## 梦境2：OLS方法和估计精度

> **OLS方法：朴素的认识论，纯数学过程！**

`$$\begin{align}
Y_i &=  \beta_1 +\beta_2X_{2i}  +\beta_3X_{3i} + \cdots + \beta_kX_{ki} + u_i && \text{(PRM)}
\end{align}$$`

- 确定性部分待估计参数(回归参数)： 
`$\beta_1, \beta_2, \beta_3, \cdots, \beta_k$`

- 随机性部分待估计参数(干扰项)： 一阶矩参数
`$\mu =E(u_i)$`，二阶矩参数
`$\sigma^2 =Var(u_i)$`，三阶矩参数,四阶矩参数等等。

- 随机干扰项的分布形态： 正态分布、t分布、F分布、卡方分布、
`$\Gamma$`分布、指数分布、威布尔分布、二项分布、泊松分布等等。

---

## 梦境2：OLS方法和估计精度

OLS点估计(Point Estimation)：

`$$\begin{align}
\left \{
  \begin{split}
  \hat{\beta}_2 &=\frac{\sum{x_iy_i}}{\sum{x_i^2}}\\
  \hat{\beta}_1 &=\bar{Y}_i-\hat{\beta}_2\bar{X}_i\\
  \hat{\sigma}^2&=\frac{\sum{e_i^2}}{n-2}
  \end{split} 
\right.  
  && \text{(ff solution)}
\end{align}$$`

.pull-left[
OLS估计精度/理论估计方差：

`$$\begin{align}
Var(\hat{\beta}_2) \equiv \sigma_{\hat{\beta}_2}^2  & =\frac{\sigma^2}{\sum{x_i^2}} \\
Var(\hat{\beta}_1) \equiv \sigma_{\hat{\beta}_1}^2  &=\frac{\sum{X_i^2}}{n} \cdot \frac{\sigma^2}{\sum{x_i^2}} \\
\end{align}$$`

]

.pull-right[

OLS估计精度/样本估计方差：

`$$\begin{align}
S_{\hat{\beta}_2}^2 &=\frac{\hat{\sigma}^2}{\sum{x_i^2}} \\
S_{\hat{\beta}_1}^2 &=\frac{\sum{X^2_i}}{n} \cdot \frac{\hat{\sigma}^2}{\sum{x_i^2}} \\
\end{align}$$`

]

---
name: nclrm-and-blue

## 梦境3： N-CLRM假定和BLUE性质

> **N-CLRM假定：计量经济方法的灵魂！**

正态经典线性回归模型假定(N-CLRM)：

- 关于模型的假设：模型是正确设置的；模型是参数线性的；

- 关于自变量X的假设：自变量X是外生的；

- 关于随机干扰项的假设：随机干扰项的期望值为0；随机干扰项的方差为同方差；随机干扰项之间无自相关；随机干扰项服从正态分布。

---

## 梦境3： N-CLRM假定和BLUE性质

> **N-CLRM和OLS：双剑合璧，天下无敌！**

高斯马尔可夫定理(Gauss-Markov Theorem, BLUE性质)：在N-CLRM假定下，OLS估计量是参数的最优线性无偏估计量(BLUE)。

> - 用记号表达为：
`$\hat{\Phi} \text{ of} \overset{OLS}{\underset{CLRM}{\Longrightarrow}} \Phi  \text{ is BLUE}$`

> - 以上表达读作：在经典详细回归模型假设下（CLRM），采用普通最小二乘法（OLS），得到参数
`$\Phi$`的估计量
`$\hat{\Phi}$`，是最优线性无偏估计量（BLUE）。

---
name: anova

## 梦境4： 变异分解和拟合优度

> **ANOVA分析：OLS方法的“面子”和“里子”！**

ANOVA分析(Analysis of Variance)下的平方和分解：

`$$\begin{align}
\sum{y_i^2} &=  \sum{\hat{y}_i^2} + \sum{e_i^2} \\
TSS &= ESS + RSS
\end{align}$$`

样本数据拟合程度的测度：判定系数(Coefficient of Determination)：

`$$\begin{align}
r^2 &=\frac{ESS}{TSS} = \frac{\sum{(\hat{Y}_i - \bar{Y})^2}}{\sum{(Y_i - \bar{Y})^2}} 
\end{align}$$`

---

## 梦境5： 假设检验和置信区间

> **假设检验和置信区间：随机干扰项正态分布的催化效应！**

如果随机干扰项服从正态分布，则会带来一些特殊的统计性质：

- 随机干扰项服从正态分布，则
`$Y_i、\hat{Y}_i、\hat{\beta}$`等都服从正态分布；

- 进而可以构造t分布，此外TSS、RSS、ESS、TSS、R^2等统计量都服从卡方分布；

- 因此可以构造t统计量，F统计量，卡方统计量等，从而获得参数的置信区间和假设检验结果。

.pull-left[

t统计量的构造：

`$$\begin{align} 
T&=\frac{\hat{\beta}-\beta}{S_{\hat{\beta}}}
&& \leftarrow T \sim t(n-2)
\end{align}$$`

]

.pull-right[

F统计量的构造：

`$$\begin{align}
F&=\frac{ESS/k}{RSS/(n-k)}
&& \leftarrow F \sim F(k,n-k)
\end{align}$$`

]

---
name: forecast

## 梦境6： 均值预测和个值预测

> **均值预测和个值预测：区间估计的扩展应用！**

样本外拟合值同时是均值预测(Mean Prediction)和个值预测(Individual Prediction)的无偏估计量：

`$$\begin{align}
\hat{Y}_0 &= \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2X_0 & \text{（样本外拟合值）} \\
E(\hat{Y}_0) &= E(Y|X=X_0) & \text{（均值预测）} \\
E(\hat{Y}_0) &= (Y_0|X_0) & \text{（个值预测）} 
\end{align}$$`

---

## 梦境6： 均值预测和个值预测

均值预测(Mean Prediction)的置信区间：

`$$\begin {align} 
T =\frac{\hat{Y}_{0}-\mathrm{E}(\mathrm{Y} | \mathrm{X}_{0})}{S_{\hat{Y}_{0}}} \sim t(n-2) \quad & \Leftarrow S_{\hat{Y}_{0}}=\sqrt{\hat{\sigma}^{2}\left[\frac{1}{n}+\frac{\left(X_{0}-\overline{X}\right)^{2}}{\sum x_{i}^{2}}\right]} \\
\hat{\beta}+\hat{\beta}_{2} X_{0}-t_{1-\alpha / 2}(n-2) \cdot S_{\hat{Y}_{0}} \leq &E(Y | X_{0}) \leq \hat{\beta}+\hat{\beta}_{2} X_{0}+t_{1- \alpha / 2}(n-2) \cdot S_{\hat{Y}_{0}}
\end {align}$$`

个值预测(Individual Prediction)的置信区间：

`$$\begin {align} 
T =\frac{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})}{S_{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})}} \sim t(n-2)
& \Leftarrow S_{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})}
=\sqrt{\hat{\sigma}^{2}\left[1+\frac{1}{n}+\frac{\left(X_{0}-\overline{X}\right)^{2}}{\sum x_{i}^{2}}\right]} \\
\hat{\beta}+\hat{\beta}_{2} X_{0}-t_{1-\alpha / 2}(n-2) \cdot S_{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})} 
\leq & Y_{0} \leq 
\hat{\beta}+\hat{\beta}_{2} X_{0}+t_{1- \alpha / 2}(n-2) \cdot S_{(Y_{0} - \hat{Y}_{0})}
\end {align}$$`

---
layout: false
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name: relax-assumption

# 放宽基本假设

[放宽1：多重共线性](#multi-collinearity)

[放宽2：异方差性](#heteroscedasticity)

[放宽3：自相关性](#autocorrelation)

[放宽4：内生性](#endogeneity)

---
layout: true

---

## 学习框架总结

整体框架包括：定义、后果、诊断、矫正。可以用下面的表格进行简化表达

---

## 病毒伤害人体VS放宽假设危害模型

病毒伤害人体，正如放宽假设会危害模型。此时，模型的**估计方差**类似于人体的**体温变化**。

.pull-left[
> 人体受到病毒感染后，免疫系统会启动，一般会通过体温变化来体现。可能引起体温**升高**（发烧），也可能引起体温**降低**（低温症）。
]

.pull-right[
> 计量经济学模型受到放宽假设的影响后，一般会通过估计方差的变化来体现。可能引起估计方差**增大**，也可能引起估计方差**减小**。
]

通常的处理办法（**矫正办法**）一般包括：

- 直面病毒、杀灭病毒、恢复机能。也即各类**直接矫正方法**，例如：逐步回归法、加权最小二乘法、广义最小二乘法、工具变量法等。

- 服控温药、避免恶化、赢取时机。也即各类**间接矫正方法**，例如：White一致性标准误校正法、Newey-West一致性标准误校正法等。

---
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# 本章结束